Cтраница 2
Разбив площадь треугольника прямыми, параллельными какой-либо другой стороне, и рассуждая аналогично, мы придем к заключению, что центр тяжести треугольника должен лежать и на другой медиане. Следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Как известно из планиметрии, медианы пересекаются на расстоянии одной трети от основания и двух третей от вершины. [16]
Но мы можем за основание взять и другую сторону, например АВ, и разбить треугольник на элементарные площади-полоски, параллельные АВ; тогда найдем, что центр тяжести площади треугольника будет лежать на другой медиане СЕ. Следовательно, - центр тяжести площади треугольника лежит на пересечении его медиан, которые, как известно, пересекаются в одной точке, расположенной на расстоянии одной трети длины каждой из медиан от соответственной стороны треугольника. Если мы имеем многоугольник и желаем определить центр тяжести его площади, то разбиваем многоугольник на треугольники, определяем центр тяжести площади каждого треугольника, а затем, рассматривая эти центры как материальные точки с массами, пропорциональными площадям треугольников, находим центр тяжести всего многоугольника. [17]
Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. [18]
Отсюда заключаем, что центр тяжести С площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Так как точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2: 1, то полученный результат можно выразить еще так: центр тяжести площади треугольника лежит на одной из его медиан на расстоянии 2 / 3 этой медианы от вершины треугольника. [19]
По только что доказанному, центр тяжести треугольника должен лежать и на этой медиане. Отсюда мы делаем вывод, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. [20]
Разобьем его на элементарные ( бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне АВ, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD, следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1: 2 от основания. [21]
Центр тяжести площади треугольника - точка пересечения его медиан. Действительно, каждая медиана делит треугольник на равновеликие части. Поэтому центр тяжести площади треугольника должен лежать на каждой медиане. Следовательно, он лежит в точке их пересечения. [22]