Cтраница 2
В данную пирамиду по условию вписан - шар; требуется найти его радиус. Центр вписанного шара лежит на линии пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов между плоскостями ВРС и APD и между плоскостями АРВ и СРЯ. Докажем, что этой линией пересечения как раз и является высота РЯ пирамиды. Для этого достаточно показать, что высота РЯ лежит в каждой из этих биссектральных плоскостей. [16]
В данную пирамиду по условию вписан шар; требуется найти его радиус. Центр вписанного шара лежит на линии пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов между плоскостями ВРС и APD и, между плоскостями АРВ и CPD. Докажем, что этой линией пересечения как раз и является высота РЯ пирамиды. Для этого достаточно показать, что высота РЯ лежит в каждой из этих биссектральных плоскостей. [17]
Центр вписанного в пирамиду шара всегда лежит внутри пирамиды, так как все точки биссектральной плоскости лежат между гранями двугранного угла. Более точно указать местоположение центра вписанного шара в случае произвольной пирамиды нельзя. Однако, например, в правильной пирамиде центр вписанного шара лежит на ее высоте; убедиться в этом совсем просто. [18]
Шар, вписанный в призму, касается каждой ее грани. В сечении плоскостью, проходящей через центр вписанного шара параллельно плоскостям оснований призмы, получается многоугольник, равный основанию призмы, в который вписан большой круг шара. Следовательно, в прямую призму можно вписать шар в том и только в том случае, если ее основание - многоугольник, в который можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы. [19]
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании-а. Пирамида пересечена плоскостью, проведенной через центр вписанного шара параллельно основанию. [20]
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна Q, а двугранный угол при основании-а. Эта пирамида пересечена плоскостью, проходящей через центр вписанного шара параллельно основанию. [21]
Между тем доказательство геометрических фактов, которые используются при вычислениях, является неотъемлемой и принципиально важной частью решения вычислительной задачи. Почему в данной конкретной пирамиде, о которой идет речь в задаче, центр вписанного шара лежит на высоте. Почему данная прямая перпендикулярна к построенной плоскости. Почему рассматриваемая сфера касается данной плоскости именно в указанной точке. Все подобные утверждения, используемые при решении вычислительной задачи, должны быть не только сформулированы, но и доказаны. [22]
В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань наклонена к основанию под углом ос. Радиус вписанной в пирамиду сферы равен г. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через центр вписанного шара параллельно основанию пирамиды. [23]
В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом а. Радиус вписанного в пирамиду шара равен г. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр вписанного шара параллельно основанию. [24]
Формула ( 2) справедлива для любой пирамиды, боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания. В Э: ом случае высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в основание, а центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды: и может быть получен как точка пересечения этой высоты с биссгктральной плоскостью любого двугранного угла при основании. [25]
При этом 1) все биссекторные плоскости двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке и эта точка и является центром вписанного шара; 2) все плоскости, проведенные через середины ребер данной пирамиды перпендикулярно этим ребрам, пересекаются в одной точке, и эта точка и является центром описанного шара. [26]
Центр вписанного в пирамиду шара всегда лежит внутри пирамиды, так как все точки биссектральной плоскости лежат между гранями двугранного угла. Более точно указать местоположение центра вписанного шара в случае произвольной пирамиды нельзя. Однако, например, в правильной пирамиде центр вписанного шара лежит на ее высоте; убедиться в этом совсем просто. [27]
Пусть около тетраэдра описан шар. При пересечении с шаром каждая плоскость дает круг, описанный около соответствующей грани тетраэдра. Из конгруэнтности треугольников ( граней) следует конгруэнтность кругов. Но конгруэнтные сечения шара одинаково удалены от его центра, а это и значит, что этот центр описанного шара одновременно является центром вписанного шара. [28]