Cтраница 2
Мы назовем D граничной областью цепи L в G, если в G нет цикла К, содержащего L, и такого, что некоторая область, выделенная циклом К, является собственным подмножеством в D. Если или D, или D является граничной областью цепи L в G, то мы назовем / граничным циклом цепи L в G. [16]
В самом деле, мы всегда можем провести дугу без контакта, пересекающую граничный цикл, а также и те замкнутые кривые, которые достаточно близки к нему, и продолжающуюся по другую сторону граничного цикла, вне области R. Мы определим положение точки на этой дуге с помощью некоторого параметра t, который будет, например, равен нулю на граничном цикле, отрицателен в области R и положителен вне этой области. [17]
Эта область будет ограничена некоторым граничным циклом, который явится последней замкнутой траекторией. Я утверждаю, что этот граничный цикл должен проходить через особую точку. [18]
Тогда D называется граничной областью ребра Е, если в G нет цикла, содержащего Е и выделяющего область, которая является собственным подмножеством D. Если D - граничная область ребра Е, то / называется его граничным циклом. Ясно, что ребро Е имеет точно две граничные области. Соответствующие граничные циклы могут как совпадать, так и не совпадать. [19]
Если G имеет только две вершины, то всякий цикл в G является гамильтоно-вым. Если мы уберем некоторое ребро из G, которое имеет те же концы, что и некоторое другое, то получим из G другой 4-связный плоский граф с теми же вершинами. Повторив эту операцию нужное число раз, получим 4-связный плоский граф Н, в котором никакие два ребра не имеют оба своих конца общими и который имеет те же вершины, что и G. Следовательно, по (3.3) Н имеет цикл и, значит, граничный цикл. [20]
Мы получим плоский граф Н из G - 5 путем замены элементов из L линией L, рассматриваемой как отдельное ребро. Ясно, что любой цикл в Н, содержащий L в качестве ребра, имеет вид 0 ( Q), где Q есть цикл в G, для которого L s Q. Получаем, что граничными областями для L в Н будут D и D, и соответствующими граничными циклами для L будут О ( К) и О ( К) соответственно. [21]