Cтраница 2
При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором - устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой. [16]
В этом случае существует значение EIE, при котором мультипликаторы цикла становятся комплексными. При eei Te не является гладким, неустойчивое многообразие седлового цикла накручивается на устойчивый цикл, а не гладко примыкает к нему. [17]
Предположим, что поток fe, скажем, при 0 ее, является системой Морса-Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 ее на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина - неустойчивы ( седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Те образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е - бифуркационное значение параметра, и при е8 осуществляется бифуркация коразмерности 1-одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при ее на Тс, либо бифуркация, связанная с образованием гомо - и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из сед-ловых циклов. [18]
Пусть в типичном двупараметрическом семействе С - гладких векторных полей, & 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [19]
Смысл названия поверхностей / ( /) очевиден: поток, задаваемый динамической системой (7.1), переводит эти поверхности друг в друга. Из этой конструкции непосредственно следует, что фазы подчиняются уравнению (7.3), поскольку изохроны вращаются с той же скоростью, что и точки на цикле. Более того, при обороте за время TQ эти гиперповерхности остаются инвариантными. Поэтому они обладают одним интересным свойством: если мы выберем такую поверхность в качестве секущей Пуанкаре, то отображение Пуанкаре будет иметь одно и то же время возврата для всех точек на секущей. Отметим также, что изохроны хорошо определены как для устойчивого, так и для полностью неустойчивого предельных циклов ( в последнем случае имеется в виду неустойчивость по всем поперечным направлениям, так что цикл становится устойчивым в обратном времени, и тогда изохроны можно определить), но они не определены для седловых циклов, имеющих как устойчивые, так и неустойчивые многообразия. [20]