Cтраница 2
Якоб и) для решения полной проблемы собственных значений эрмитовой матрицы основан на подобном преобразовании эрмитовой матрицы к диагональному виду с помощью последовательности плоских вращений. [16]
А х Ъ заключается в построении разложения LA 56, где С - матрица простого вида, L и S - произведения матриц плоского вращения или матриц перестановок. [17]
В основополагающей статье [41], относящейся к 1846 г., Якоби предложил выбирать в матрице А максимальный по модулю внедиагональный элемент apq и затем осуществлять плоское вращение на такой угол ф, чтобы в матрице А элемент apq стал равным нулю. Когда в 1952 г. этот метод был открыт заново [32] в связи с развитием автоматических вычислений на ЦВМ, он был видоизменен таким образом, что выбор максимального элемента стал проводиться по строкам только для наддиагональны. Позднее в работе [67] была предложена стратегия, исключающая неэффективные промежуточные вращения, которая позволяла проводить диагона-лизацию с меньшими затратами машинного времени. [18]
ВРАЩЕНИЙ МЕТОД, метод Я к о б и - метод решения полной проблемы собственных значений эрмитовой матрицы, основанный на подобном преобразовании эрмитовой матрицы к диагональному виду с помощью последовательности плоских вращений. Наличие кратных и близких собственных значений у матрицы не вызывает осложнений. Система собственных векторов, вычисленная по В. [19]
Если текущий элемент a [ p, q ] мал по сравнению с a [ p, р ] и a [ q, q ], то элемент а [ р, q ] полагают равным нулю и соответствующее плоское вращение не производят. [20]
Исследована устойчивость регулярных прецессий динамически симметричного спутника на круговой орбите; дан анализ устойчивости плоских колебаний спутника - твердого тела на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета; рассмотрена устойчивость движения динамически симметричного спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты центра масс; исследована устойчивость плоских вращений спутника и плоских колебаний произвольной амплитуды на круговой орбите; получены новые результаты в задаче об устойчивости относительного равновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции. В [95] указаны такие случаи, когда относительное равновесие спутника устойчиво в линейном приближении, есть устойчивость для большинства начальных условий, а на самом деле это равновесие неустойчиво по Ляпунову. [21]
Выступ переместился из позиции ( n, п - 2) в позицию ( п - 1, п - 3), и (8.13.2) показывает типичную ситуацию процесса. Плоские вращения выполняются, пока выступ не дойдет до позиции ( 2, 0) и тем самым исчезнет. Кружок над R, подчеркивает, что в принципе нет причин для того. Ry - совпадала с матрицей Ry из § 8.12. Конечной матрицей будет f, и пока не ясно, как преобразование Т - - Т связано с QL. [22]
Элементы полученной диагональной матрицы и есть собственные значения исходной матрицы А. Преобразования называют вращениями Якоби или плоскими вращениями. [23]
В некоторых приложениях нужно иметь произведение всех плоских вращений. Обычно это произведение накапливается постепенно; на каждом шаге текущее произведение умножается слева на очередное плоское вращение. В этой ситуации нужны значения у и ст, и кажется, что квадратный корень все же придется извлекать. Разумеется, при этом желательно все-таки сохранить формулы с двумя умножениями для перестройки Д2 и С. [24]
Назовем динамическую систему гармонизуемой, если она имеет секущую поверхность. Очевидно, функция а ( р) осуществляет гомоморфное отображение динамической системы в К-систему, представляющую собой группу плоских вращений окружности вокруг своего центра. [25]
Пусть теперь на тело действует несколько сил. Как видите, моменты складываются по обычным законам алгебры, однако, как вы узнаете после, это происходит из-за того, что мы ограничиваемся только плоскими вращениями. Эта ситуация напоминает одномерное движение, в котором силы просто складываются алгебраически; ведь все они в этом случае действуют вдоль одной и той же прямой. В трехмерном пространстве все более сложно. [26]
Между этими двумя движениями - плоским вращением и одномерным перемещением - существует очень интересная связь: почти каждая величина в одном случае имеет свой аналог в другом. Угловая скорость со dQ / dt, которая показывает, с какой быстротой изменяется угол, соответствует обычной скорости v ds / dt, описывающей быстроту изменения положения. Если угол измеряется в радианах, то угловая скорость со равна какому-то числу радиан в секунду. Чем больше угловая скорость, тем быстрее вращается объект и тем быстрее изменяется угол. Если продифференцировать угловую скорость по времени, то получим величину а da / dt, которую мы будем называть угловым ускорением. Оно может служить аналогом обычного ускорения. [27]
Предположим, что ядра 1 к 2 могут совершать одновременное движение в плоскости, перпендикуляр к которой образует угол а с направлением магнитного поля; движение ядер 1 и 2 предполагается таким, что соединяющий их вектор г не изменяясь по абсолютной величине, может поворачиваться вокруг некоторой оси D. Если мы предположим, ч го одновременное движение ядер 1 и 2 есть свободное плоское вращение жесткого ротатора, то мы будем иметь дело с задачей, рассмотренной в предыдущем параграфе. Мы, однако, будем теперь считать, что движение ядер носит иной характер. [28]
Одним из эффективных методов, позволяющих привести исходную симметрическую матрицу n - го порядка к трехдиа-гональному виду, является метод вращений. Он основан на специально подбираемом вращении системы координат в n - мерном пространстве. Поскольку любое вращение можно заменить последовательностью элементарных ( плоских) вращений, то решение задачи можно разбить на ряд шагов, на каждом из которых осуществляется плоское вращение. Таким образом, на каждом шаге выбираются две оси - г-я и j - я ( г / j), и поворот на угол ( р производится в плоскости, проходящей через эти оси; остальные оси координат на данном шаге неподвижны. [29]
Одним из эффективных методов, позволяющих привести исходную симметричную матрицу га-го порядка к трехдиагональному виду, является метод вращений. Он основан на специально подбираемом вращении системы координат в тг-мерном пространстве. Поскольку любое вращение можно заменить последовательностью элементарных ( плоских) вращений, то решение задачи можно разбить на ряд шагов, на каждом из которых осуществляется плоское вращение. [30]