Cтраница 2
Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Устанавливается, что для голономных систем интегралы количества движения, кинетического момента и обобщенный интеграл энергии Яко-би [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. [16]
Доказанные выше теоремы позволяют установить условия существования трех основных типов первых интегралов. Если внешние силы отсутствуют, то не меняется во времени количество движения системы, называемое в этом случае интегралом количества движения. Если момент внешних сил равен нулю, то не меняется кинетический момент системы, называемый в этом случае интегралом момента количества движения. Наконец, если все действующие силы потенциальны и не зависят от времени, то полная механическая энергия является интегралом энергии рассматриваемой системы. [17]
Во второй части развивается простой метод приближенного решения, в котором скоростной профиль выражен как член семейства кривых с параметром а, отличным от X. Найдено, что результаты с достаточной точностью могут быть получены расчетом X с помощью квадратурной формулы и определением соотношения между X и а из интегралов количества движения и энергии пограничного слоя. Метод решения может быть легко распространен на пограничный слой сжимаемой жидкости. [18]
И динамике твердого тела, так же как и в динамике точки, возможность решения п квадратурах какой-нибудь задачи, с двумя степенями свободы, во многом зависит от существования циклических координат. Весьма часто интеграл, соответствующий циклической координате, может быть интерпретирован как интеграл количества движения или как интеграл момента количества движения. Составление и решение соответствующих дифференциальных уравнений основывается на принципах, изложенных в предшествующих главах. Мы поясним ход вычислений па следующих примерах. [19]
Это возможно только, если величины W, Р, К, М сами постоянны. Мы получаем, таким образом, десять интегралов, причем каждый из них связан с определенным параметром в бесконечно малом преобразовании Лоренца. Легко видеть, каков физический смысл этих интегралов: W есть интеграл энергии, Р - интеграл количества движения, К-интеграл движения центра инерции, М - интеграл момента количества движения. Таким образом, найденные десять интегралов представляют классические интегралы системы материальных точек с поправками на теорию относительности. [20]
В статистической физике считается, что иногда полезно постулировать то или иное пространство с дробной размерностью. Математиков же такие пространства выводят из душевного равновесия: мало того, что эти пространства никто нигде не строит, никто даже не берет на себя труд доказать их существование и единственность. Тем не менее, физики получают весьма существенные результаты, исходя из допущения, что упомянутые пространства действительно существуют и вдобавок обладают определенными сильными и желательными свойствами: они инвариантны при смещении, а их интегралы количества движения и рекуррентные соотношения можно получить из евклидовых пространств с помощью формального аналитического продолжения. [21]
Вследствие различия главных моментов инерции ( 4) из множителей, стоящих в скобках, может обращаться в нуль самое большее один. В таком; случае из неравенства нулю обоих остальных вытекает 0j о2 0, а из f 6 - постоянство о3 во времени. Следовательно, получается равномерное вращение около главной оси инерции хъ. Конечно, вращения около обеих остальных главных осей инерции тоже квазистатнчны по отношению к интегралу количества движения. Если желательно исследовать вращение около оси х3 на устойчивость, то, согласно гл. [22]