Cтраница 2
Аналогично можно изучить и отображения, реализуемые остальными тригонометрическими и гиперболическими функциями, но мы из методических соображений это сделаем в § 42 другим путем - при помощи интеграла Кристоффеля - Шварца. [16]
Во всех остальных случаях эти константы обычно рекомендуют определять из системы уравнений ( 97) подбором, что приводит к весьма трудоемким вычислениям. III мы рассмотрим более эффективный метод определения констант интеграла Кристоффеля - Шварца при помощи обобщенных степенных рядов. [17]
Принцип симметрии можно применить для вывода формул, дающих аналитическое выражение функций, конформно отображающих круг или полуплоскость на многоугольник. Эти формулы известны под названием формул Кристоффеля - Шварца или интеграла Кристоффеля - Шварца. [18]
Так как конформное отображение звездообразной области на полуплоскость единственно ( при трех фиксированных вершинах), то интеграл Кристоффеля - Шварца должен совпасть с выражением (9.1); следовательно, в данном случае этот интеграл вычисляется в конечном виде. [19]
Существование этой отображающей функции следует из теоремы 1.1. Более того, эту функцию можно построить с помощью интеграла Кристоффеля - Шварца ( см. § 5 гл. [20]
Эти же приемы, особенно прием растворения в потоке обтекаемой границы, которая для этого предварительно трансформируется в одну из линий тока, могут с успехом быть применены и для реше. Однако рамки данной работы вынуждают нас закончить на этом изложение вопросов, связанных с методом последовательных конформных отображений и перейти к определению констант интеграла Кристоффеля - Шварца, так как этот вопрос в § 41 - 42 остался открытым. [21]
Очертания электродов в плоскости г могут быть самыми различными. Если очертания электродов таковы, что их можно представить кусочно-ломаными прямыми, то задачу нахождения функции w f ( г) можно решить в общем виде ( по крайней мере принципиально) с помощью интеграла Кристоффеля - Шварца ( см. § И. Если же очертания электродов в плоскости г таковы, что не могут быть представлены кусочно-ломаными прямыми, то общий метод нахождения функции w f ( г) для таких задач в настоящее время не известен. Тем не менее метод конформных отображений часто стремятся применить и в этом случае, решая задачу обходным путем - просматривают уже известные решения, имеющиеся в учебной и специальной литературе, и пытаются найти такое, в котором форма двух эквипотенциалей, если не полностью, совпадает с формой ( очертаниями) электродов исследуемого поля, то достаточно близка к ним. Это решение и принимают в качестве искомого. [22]
Обычно за известные координаты принимают 0, 1 и оо. Если вершине многоугольника плоскости z на плоскости t соответствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к этой вершине множитель выпадает из уравнения Кристоффеля - Шварца. Это часто используют для упрощения интеграла Кристоффеля - Шварца. Обычно принимают на плоскости t, равной бесконечности, координату точки, которая соответствует вершине многоугольника, удаленной в бесконечность на плоскости г. На действительной оси плоскости / ( рис. 18.8, б) помещены точки, соответствующие вершинам многоугольника A FC B в плоскости z: вершине С с координатой Zc, / оо - точка с с координатой tc 0; вершине А с координатой ZA, 00 - точка а с ta оо. Координату одной из двух оставшихся вершин можно выбрать на оси плоскости t также произвольно. [23]
Они уже полностью определяют все отображение, а значит, и остальные постоянные. Для их определения можно написать систему уравнений, но решить эту систему ( не приближенно) обычно не удается. Поэтому явные формулы для отображающих функций интеграл Кристоффеля - Шварца дает лишь для треугольников или для многоугольников, сводящихся к треугольникам с помощью принципа симметрии. В случае прямолинейных треугольников отображающая функция выражается через эллиптические функции, в случае треугольников, ограниченных дугами окружностей - через гипергеометрические функции. Если треугольники очень вырожденные, то удается найти интегралы и через элементарные функции. [24]
Интегралы, возникающие из формул Кристоффеля - Шварца, как правило, не берутся в элементарных функциях. Они уже полностью определяют все отображение, а значит, и остальные постоянные. Для их определения можно написать систему уравнений, но решить эту систему ( не приближенно) обычно не удается. Поэтому явные формулы для отображающих функций интеграл Кристоффеля - Шварца дает лишь для треугольников или для многоугольников, сводящихся к треугольникам с помощью принципа симметрии. В случае прямолинейных треугольников отображающая функция выражается через эллиптические функции, в случае треугольников, ограниченных дугами окружностей - через гипергеометрические функции. Если треугольники очень вырожденные, то удается найти интегралы и через элементарные функции. [25]