Cтраница 1
Интегралы Фейнмана, фигурирующие в разложении S-матрицы квантовой электродинамики по теории воз - мущений, вообще расходятся. [1]
Континуальные интегралы ( интегралы Фейнмана) занимают одно нз центральных мест в математическом аппарате теоретической физики и находят все более широкое применение для решения разнообразных математических задач. В монографии дан обзор различных определений континуальных интегралов и соответствующих обобщенных мер на бесконечномерных пространствах, установлены связи между ними, описаны свойства этих интегралов и классов интегрируемых функционалов. Приведены применения континуальных интегралов при решении эволюционных уравнений ( в частности, уравнения Шредингера), при исследовании дифференциальных н псевдодифференциальных операторов н в других задачах. [2]
Комплексные цепи Маркова и интеграл Фейнмана для нелинейных систем. [3]
Наше рассмотрение показывает, что все те свойства интеграла Фейнмана, которыми практически приходится пользоваться в теории возмущений, вытекают непосредственно из определения квазигауссова интеграла и могут быть строго обоснованы независимо от вопроса о существовании фейнмановской интегральной меры. Таким образом, в рамках теории возмущений формализм континуального интеграла является вполне строгим математическим методом, и полученные с его помощью результаты не нуждаются в дополнительном обосновании. [4]
Происхождение полюсных особенностей амплитуд рассеяния, за которым мы проследили, исходя из интегралов Фейнмана, имеет в действительности более общий характер, не связанный с теорией возмущений. [5]
Можно было бы провести аналогию между этим приемом отбрасывания расходящейся части и методом вычитания из регулярнзованного интеграла Фейнмана некоторого расходящегося выражения, выбранного так, чтобы остаток был конечен и согласовывался с экспериментом. [6]
Константы взаимодействия f - 1 / m и f - l / m2 в них размерные, и степень расходимости интегралов Фейнмана в таких теориях быстро растет с ростом числа вершин в графиках. [7]
Именно каждой неотрицательно определенной квадратичной форме В на векторном пространстве Е соответствует гауссовская мера на двойственном пространстве с преобразованием Фурье ехр ( - В ( х)); совершенно аналогично каждой вещественной квадратичной форме BL на Е соответствует интеграл Фейнмана, задаваемый мерой Фейнмана с преобразованием Фурье exp ( iBi ( x)); иногда, отказываясь в этом последнем определении от требования вещественности, считают гауссовскую меру частным случаем меры Фейнманах Таким образом, понятие интеграла Фейнмана определяет не единственны; объект, а целый класс объектов; этим и объясняется использование термина интегралы ( а не интеграл) Фейнмана. [8]
Именно каждой неотрицательно определенной квадратичной форме В на векторном пространстве Е соответствует гауссовская мера на двойственном пространстве с преобразованием Фурье ехр ( - В ( х)); совершенно аналогично каждой вещественной квадратичной форме BL на Е соответствует интеграл Фейнмана, задаваемый мерой Фейнмана с преобразованием Фурье exp ( iBi ( x)); иногда, отказываясь в этом последнем определении от требования вещественности, считают гауссовскую меру частным случаем меры Фейнманах Таким образом, понятие интеграла Фейнмана определяет не единственны; объект, а целый класс объектов; этим и объясняется использование термина интегралы ( а не интеграл) Фейнмана. [9]
В терминах введенных в § 70 инвариантных амплитуд, функций кинематических инвариантов, можно сказать, что эти функции будут одни и те же для всех каналов, но для каждого канала их аргументы пробегают значения в своей физической области. Другими словами, интегралы Фейнмана определяют инвариантные амплитуды как аналитические функции; их значения в разных физических областях являются аналитическим продолжением функции, заданной в одной из областей. Если инвариантные амплитуды вычислены для какого-либо канала по интегралам Фейнмана, то и их аналитическое продолжение к другим каналам будет автоматически учитывать эти особенности. [10]
Значение континуальных интегралов определяется тем, что они позволяют представить в явном виде решения различных задач, связанных с уравнениями, содержащими дифференциальные операторы с частными производными, и более общим образом - псевдодифференциальные операторы. Кроме того, интегралы Фейнмана в фазовом пространстве естественным образом возникают при представлении бесконечномерных псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах функций и мер на бесконечномерном пространстве, и потому являются аппаратом, необходимым не только для решения основных задач теории, на и для самой их формулировки. Эффективность подхода, использующего континуальные интегралы, определяется сходством их формальных свойств со свойствами обычных интегралов по мере ( Лебега), что позволяет, экстраполируя на континуальные интегралы известные приемы интегрального исчисления, получить довольно развитый и гибкий формальный аппарат. [11]
В терминах введенных в § 70 инвариантных амплитуд, функций кинематических инвариантов, можно сказать, что эти функции будут одни и те же для всех каналов, но для каждого канала их аргументы пробегают значения в своей физической области. Другими словами, интегралы Фейнмана определяют инвариантные амплитуды как аналитические функции; их значения в разных физических областях являются аналитическим продолжением функции, заданной в одной из областей. Если инвариантные амплитуды вычислены для какого-либо канала по интегралам Фейнмана, то и их аналитическое продолжение к другим каналам будет автоматически учитывать эти особенности. [12]
Здесь выражение 1п [ р ( х - 1) р2Ь ( х - 2) ] не определено; распределение pfi ( x - 1) р ( х - 2) не принадлежит алгебре / С, для которой в § 2 был определен In. Можно попытаться применить метод, аналогичный методу регуляризации интегралов Фейнмана. Заменим приближенно р ( х) регуляризованной функцией ср и перейдем затем к пределу. [13]
Этот принцип содержит некоторую долю неопределенности, если само существование частиц есть результат общей самосогласованности, и появляется в итоге рассмотрения, включающего использование условия унитарности. Если число и тип элементарных частиц фиксированы, то принцип максимальной аналитичности практически эквивалентен предположению, что аналитическая амплитуда обладает только особенностями, свойственными всем интегралам Фейнмана. [14]
Конечно, основной причиной этого являются реальные математические трудности, возникающие при исследовании континуальных интегралов. Если это последнее пространство конечномерно, то после отождествления мер с их плотностями определяемое так Преобразование Фурье совпадет с классическим. Таким обратом, теория интеграла Фейнмана - это бесконечномерный ана - Йог классического гармонического анализа функций, определенных на конечномерном евклидовом пространстве. Именно математическими трудностями объясняется и то обстоятельство, что в течение почти двадцати лет после появления ( в вышедшей в 1948 году работе Фейнмана) концепции континуального интегрирования она воспринималась только как изящный, но недостаточно понятный и в основном бесполезный способ переформулировки известных результатов. Еще в 1965 г. Фейнман и его соавтор по книге Квантовая механика и интегралы по траекториям Хибс были вынуждены оправдываться в том, что осмелились посвятить целую монографию этому подходу к квантовой механике. Положение резко изменилось только в 1967 г., когда в работе Л. Д. Фаддеева и В. Н. Попова с помощью континуальных интегралов был получен ранее неизвестный результат - проведено квантование калибровочных полей. Хотя примерно одновременно ( и независимо) похожий результат был получен Брайсом де Виттом с помощью традиционной операторной техники, именно простота и естественность подхода Фаддеева-Попова, основанного к а использовании континуального интеграла, привела к тому, что работа де Витта прошла незамеченной. [15]