Cтраница 1
Интеграл Шварца - Кристоффеля получен в предположении, что точки ak, соответствующие вершинам многоугольника, известны. Однако в задачах на конформные отображения задаются лишь вершины Ak многоугольника, а точки а, остаются неизвестными. Это обстоятельство представляет главную трудность при практическом использовании интеграла Шварца - Кристоффеля. [1]
Следовательно, подинтегральная функция интеграла Шварца - Кристоффеля имеет в соответствующих точках полюсы третьего и первого порядков. [2]
Для установления связи между параметрами интеграла Шварца - Кристоффеля и видом многоугольника Gz нужно сначала вычислить длины сторон. Эти вычисления, как и в выражении (13.2.1), проводятся целиком в вещественной области. [3]
Оказывается, что в этих условиях интеграл Шварца - Кристоффеля определяет функцию, реализующую конформное отображение верхней полуплоскости на некоторый многоугольник с углами а л при вершинах. [4]
Выражение (13.4.2) отличается от рассмотренного ранее интеграла Шварца - Кристоффеля полиномиальным множителем. Это создает дополнительные нули подинтегральной функции, что нарушает конформность в этих точках. [5]
Последняя формула, устанавливающая связь между интегралом Шварца и интегралом типа Коши с действительной плотностью, взятым по контуру единичного круга, будет нами использована в дальнейшем. [6]
Такое представление отображающей функции известно под названием интеграла Шварца - Кристоффеля. Из этого интеграла непосредственно видны свойства отображения. Во-первых, подинтег-ральная функция всюду, за исключением точек ev и оо, аполитична и отлична от нуля, так что отображение г ( ю) вне этих особых точек конформно. [7]
Разлагая в последних формулах функции, представленные интегралами Шварца в степенной ряд в окрестности начала координат, легко убедимся, что эти разложения отличаются только первыми х низшими членами. [8]
Разлагая в последних формулах функции, представленные интегралами Шварца в степенной ряд в окрестности начала координат, легко убедимся, что эти разложения отличаются только первыми к низшими членами. [9]
Включен новый материал: конформные преобразования с помощью интеграла Шварца, отражения в сфере и цилиндре, второй вариант метода интегральных уравнений, распространение волн в гиротропных средах и др. Введены вопросы и задачи для самопроверки. [10]
Постоянную С здесь можно выбрать произвольно, так как изменение всех параметров на одинаковое слагаемое не меняет интеграла Шварца - Кристоффеля. [11]
В случае области внешней по отношению к единичной окружности, как известно), оператор Шварца равен интегралу Шварца со знаком минус. [12]
Значительно проще в этом отношении обстоит дело в случае прямолинейных многоугольников, ибо от общего выражения (15.1.5) можно перейти к частному случаю интеграла Шварца - Кристоффеля. Этому посвящен следующий пункт. [13]
Выше в § 1 было показано, что при решении задач кручения и изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение аппарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла ( интеграла Шварца), причем, если отображающая функция - рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты слу чаем, когда отображающая функция - рациональная. [14]
Выше в § 1 было показано, что при решении задач кручения л изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение - нгаарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла ( интеграла Шварца), причем, если отображающая функция - рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты случаем, когда отображающая функция - рациональная. [15]