Cтраница 1
Несобственные двойные интегралы получаются аналогично случаю обыкновенных интегралов, если рассматривать бесконечные области интегрирования или неограниченные функции; интегралы, понимаемые в смысле § 4, в дальнейшем называются собственными. [1]
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай тройных интегралов. [2]
Сведение несобственных двойных интегралов к двукратным в обоих рассмотренных выше случаях основано на следующем правиле. [3]
Прежде всего, и здесь справедлива замечательная теорема о том, что несобственные двойные интегралы если сходятся, то, по необходимости, абсолютно. [4]
Оставляя в стороне доказательства общих утверждений, ограничимся примером, в котором используются сведение несобственного двойного интеграла к повторному и замена переменных в несобственном двойном интеграле. [5]
Доказательство этой теоремы вытекает из того факта, что, в силу своего определения, сходящийся несобственный двойной интеграл не зависит от способа исчерпывания области интегрирования. [6]
Если функция f ( x, у) не изменяет знака в области D, то несобственный двойной интеграл приводится к двукратному интегралу по обычному правилу, если только интегрирование по одной из переменных приводит к такой функции от второй переменной, которая была бы интегрируемой собственно или несобственно. [7]
Аналогично можно было бы попытаться найти и D, но мы встретимся в этом случае с несобственным двойным интегралом, у которого подинтегральная функция обращается в оо вдоль отрезка оси и. [8]
Заметим, что замена переменных наряду с переходом к повторному интегралу является весьма удобным средством для установления существования несобственных двойных интегралов. [9]
Оставляя в стороне доказательства общих утверждений, ограничимся примером, в котором используются сведение несобственного двойного интеграла к повторному и замена переменных в несобственном двойном интеграле. [10]
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл по бесконечной области. Заметим еще, что сказанное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда f ( M) обращается в бесконечность, применимо и к несобственным интегралам, распространенным по поверхности. [11]
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл по бесконечной области. Заметим еще, что сказанное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда ( М) обращается в бесконечность, применимо и к несобственным интегралам, распространенным по поверхности. [12]
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл по бесконечной области. Заметим еще, что сказанное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда / ( / VI) обращается в бесконечность, применимо и к несобственным интегралам, распространенным по поверхности. [13]
В случаях, когда область интегрирования простирается в бесконечность или подин-тегральная функция перестает быть ограниченной вблизи особых точек, линий или поверхностей, несобственный тройной интеграл получается с помощью дополнительного предельного перехода, исходя из собственного интеграла. Своеобразие многомерного случая по сравнению с линейным случаем уже было отмечено в связи с изучением несобственных двойных интегралов, и сейчас к этому добавить нечего. [14]
Если функция f ( x, у обращается в бесконечность не только в отдельной точке, но и вдоль некоторой линии С, лежащей в области О, то несобственному двойному интегралу от функции / по области О можно дать определение, следуя тому же пути. Линию разрыва С вырезаем из области О вместе с такой окрестностью U. Если при г - 0 интеграл от функции f ( x, у) по остающейся области О-U, стремится к конечному пределу /, не зависящему от выбора изменяющейся окрестности Ua то несобственный двойной интеграл от функции / по области О называется сходящимся ( говорят также, что он сходится), а этот предел / считается значением несобственного интеграла. [15]