Cтраница 1
Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности ( переориентации) он меняет знак. [1]
Поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как обобщение двойных интегралов, подобное тому, каким криволинейные интегралы второго рода являются по отношению к определенным интегралам. При изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, в соответствующих интегральных суммах значения функции в точках кривой умножались на взятые с определенным знаком длины проекций дуг деления на координатные оси. В двумерном случае понятие направленной кривой заменяется понятием стороны поверхности, а при составлении интегральных сумм значения функции в точках поверхности умножаются на взятые с определенным знаком площади проекций поверхностей деления на координатные плоскости. [2]
К вычислению поверхностных интегралов второго рода приводит, например, решение так называемой задачи о потоке векторного поля. [3]
S называется поверхностным интегралом второго рода. [4]
Для того чтобы определить поверхностный интеграл второго рода, нам нужно ввести сначала понятие стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой. [5]
Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. [6]
Из определения следует, что поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности. Если взять другую сторону поверхности, то вектор N ( M) изменит направление на противоположное; поэтому направляющие косинусы вектора N ( M), а следовательно, и интегралы Д, 1 %, / з изменят знак. [7]
Из определения следует, что поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности. Если взять другую сторону поверхности, то вектор N ( M) изменит направление на противоположное; поэтому направляющие косинусы вектора N ( M), а следовательно, и интегралы / i, / 2, / 3 изменят знак. [8]
Аналогично поверхностным интегралам первого рода, поверхностные интегралы второго рода заведомо существуют, если функция Ф непрерывна на поверхности S. [9]
Выведем формулы, удобные для вычисления поверхностных интегралов второго рода. [10]
Выведем формулы, удобные для вычисления поверхностных интегралов второго рода. [11]
Отметим, что при изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл второго рода меняет знак. [12]
Последние два интеграла в этом выражении являются поверхностными интегралами второго рода. [13]
Мы показали, как сводится к двойному интегралу поверхностный интеграл второго рода, взятый по поверхности, заданной уравнением в декартовых координатах. [14]
Отсюда видно, что разным сторонам поверхности S отвечают поверхностные интегралы второго рода вектора а, отличающиеся знаком. [15]