Cтраница 2
Иногда вместо выражения ( 1) используется другое обозначение поверхностного интеграла второго рода. [16]
Поверхностные интегралы первого рода часто называются поверхностными интегралами по площади поверхности S в отличие от поверхностных интегралов второго рода ( по координатам), которые будут рассматриваться ниже. [17]
Поверхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их к двойным интегралам. [18]
Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения. Обозначим через cos а, cos p, cos Y направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. [19]
При переходе к другой стороне поверхности компоненты единичного вектора нормали, а следовательно, и сам интеграл (5.14), меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. [20]
Подчеркнем то обстоятельство, что при изменении ориентации на противоположную интеграл ( 7) меняет знак. Интеграл ( 7) называют также поверхностным интегралом второго рода. [21]
Рассмотрим сначала одну из задач, приводящих к понятию поверхностного интеграла второго рода, а именно, задачу о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность. [22]
Поэтому на основании теоремы 2, считая, что функции Р ( М), Q ( M), R ( M) непрерывны на Ф, получаем формулы для вычисления поверхностных интегралов второго рода. [23]
Поэтому на основании теоремы 2, считая, что функции Р ( М), 2 ( М), R ( M) непрерывны на Ф, получаем формулы для вычисления поверхностных интегралов второго рода. [24]
Однако существуют задачи другого типа, в которых ориентация элемента da играет существенную роль. К ним относится, например, задача ( которую мы рассмотрим ниже) о вычислении количества жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Этот второй круг задач приводит нас к другому понятию поверхностного интеграла, так называемому поверхностному интегралу второго рода. Ему будет посвящен следующий параграф. Как мы увидим ниже, поверхностные интегралы первого и второго рода связаны между собой простыми формулами. [25]