Cтраница 2
Иногда же частный интеграл мало помогает нахождению полного интеграла. [16]
Далее находим частный интеграл yi данного неоднородного уравнения. [17]
Если известен частный интеграл yv то разыскание общего интеграла этого уравнения сводится к решению уравнения Бернулли. [18]
Однако это только частный интеграл, так как, когда исчезает х, одновременно исчезает и у, если только 1 не является отрицательным числом, а кроме того, этот ряд сходится лишь тогда, когда х берется очень малым. Метод же, который мы здесь обрисовали, не страдает этим пороком: действительно, прежде всего он дает полный интеграл, поскольку при данном значении х он приписывает данное значение количеству у; далее, путем постепенных переходов через весьма малые промежутки он всегда подходит очень близко к истине и позволяет дойти докуда угодно. Этот метод может быть усовершенствован следующим образом. [19]
Аналогично определяется частный интеграл дифференциального уравнения. [20]
Аналогично определяется частный интеграл дифференциального уравнения. [21]
Поэтому разыскание частных интегралов является делом очень рискованным, если в то же время неизвестен полный интеграл, а зная полный интеграл, мы не имели бы никакой нужды в особых методах отыскания частных интегралов. Ведь к разысканию частных интегралов полезно прибегать главным образом в тех случаях, когда не удается найти полный интеграл. Значит, для того чтобы наша работа оказалась плодотворной, надо дать критерии, которые позволили бы судить, являются или не являются частными интегралами некоторого дифференциального уравнения [ те или иные ] значения, которые удовлетворяют этому уравнению. [22]
Вычислим значения частных интегралов Y ( x) для каждого участка. [23]
Геометрически каждому частному интегралу дифференциального уравнения соответствует плоская линия, его график, которая называется интегральной кривой этого уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых. [24]
Иногда легко найти частный интеграл по соображению или по догадке. Так, например, пусть требуется найти такую функцию у от х, чтобы было dy г / 2 dx dx у. Но это-частный интеграл, так как он не содержит никакого произвольного постоянного. [25]
В этих примерах частный интеграл сразу же бросается в глаза, но бывают случаи, когда его усмотреть труднее. [26]
Найденный нами первым частный интеграл у Сх2 нельзя получить ни из одной из тех формул, которыми выражается полный интеграл. Тем не менее он удовлетворяет предложенному дифференциальному уравнению второго порядка. I ] относительно того парадоксального явления, когда, как иногда бывает, дифференциальному уравнению удовлетворяет зависимость в конечном виде, которая вовсе не содержится в полном интеграле. Итак, мы видим, что это парадоксальное явление имеет место также и для дифференциального уравнения второго порядка. Следует ли рассматривать это уравнение у Сх2 как интеграл, это уже другой вопрос, который пока никак не следует считать разрешенным. Хотя в данном случае нужно рассматривать предложенное уравнение как разлагающееся на множители, из одного из которых получается эта зависимость у Сх2, но мы далеки от того, чтобы считать возможным ограничиться этим объяснением. Причина в том, что, как нам представляется, главное - обстоятельно рассмотреть тот вопрос, геометрического или иного происхождения, решение которого привело к данному уравнению. При этом в большинстве случаев не составит труда выяснить, удовлетворяет ли по сути поставленного вопроса то, что удовлетворяет дифференциальному уравнению. [27]
Если только имеется частный интеграл этого уравнения, то интегрирование заданного уравнения может быть доведено до конца. [28]
Это уравнение имеет частный интеграл s -, если - а. [29]
Эги формулы представляют частный интеграл для перемещений с произвольными постоянными, подлежащими определению из граничных условий. [30]