Cтраница 2
Отсюда непосредственно следует, что наши формулы ( 55) дают общий интеграл системы. [16]
Un), CU ( t0, x0), называется общим интегралом системы (5.5.1) в области В. [17]
Детальный анализ этих уравнений, на котором мы сейчас не можем останавливаться, дает нам общий интеграл системы ( 38), задающий функцию Q в неявном виде. [18]
Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла уравнения ( 176) дает общий интеграл системы ( 175), определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой ( 175) и уравнением ( 176) соответствует тому геометрическому факту, что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при помощи трансверсальных поверхностей этого поля. [19]
Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла уравнения ( 176) дает общий интеграл системы ( 175), определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой ( 175) и уравнением ( 176) соответствует тому геометрическому факту, что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при помощи трансвер-сальных поверхностей этого поля. [20]
Если общий интеграл системы ( 2) известен, то общий интеграл системы ( 13) может быть найден при помощи дифференцирований и общий интеграл системы ( 12) выражается в квадратурах. [21]
Таким образом, по формулам ( 47) мы получим п линейно-независимых решений нашей системы ( 46), и их линейная комбинация даст общий интеграл системы. Мы не будем более подробно останавливаться на исследовании этого обстоятельства, так как в дальнейшем, пользуясь теорией функций комплексного переменного, применим для решения системы ( 46) другой метод. [22]
Действительно, если среди п корней характеристического уравнения есть п - k корней с положительными или равными нулю действительными частями, то можно исключить соответствующие им частные интегралы из состава общего интеграла системы уравнений ( II. [23]
Cs, входящие в полиномы hs ( z), играют роль начальных условий. Отсюда непосредственно следует, что наши формулы ( 55) дают общий интеграл системы. [24]
Что касается условий, относящихся к уравнениям второй и третьей строк, то они также будут удовлетворяться. Так как мы имеем п ( п - f - 1) неизвестных, связанных п ( п - - 1) / 2 конечными соотношениями, то общий интеграл системы (3.6) зависит от п ( п - f - 1) / 2 произвольных постоянных. Рассмотрим вопрос о действительности решений. [25]
Ьп с определителем, равным нулю, и сможем получить для этих неизвестных решение, отличное от нулевого. Таким образом, по формулам ( 47) мы получим п линейно-независимых решений нашей системы ( 46), и их линейная комбинация даст общий интеграл системы. Мы не будем более подробно останавливаться на исследовании этого обстоятельства, так как в дальнейшем, пользуясь теорией функций комплексного переменного, применим для решения системы ( 46) другой метод. [26]
В условиях однозначности наряду с начальными и граничными условиями заданы числовые значения величин, входящих в рассматриваемую систему уравнений. Эти величины обозначим соответствующими буквами с индексом о. Исходя из второй теоремы подобия можно утверждать, что отношение любой величины, входящей в рассматриваемую систему уравнений, к ее заданному числовому значению является инвариантом этой системы. Общий интеграл системы уравнений ( алгебраических, дифференциальных, интегральных) для линейно подобной группы преобразований, которая допускается этой системой, может быть представлен в виде произвольных зависимостей между инвариантами подобия, определенными из данной системы уравнений. Частный интеграл системы уравнений для линейноподобной группы преобразований, которая допускается системой, может быть представлен в виде однозначных зависимостей между инвариантами подобия, определенными из данной системы уравнений, и симплексами, составленными из величин, входящих в уравнения. Эти зависимости должны удовлетворять заданным зависимостям между инвариантами подобия, полученными из конкретных значений указанных величин. [27]
Одним из приложений обыкновенных дифференциальных уравнений являются уравнения с частными производными. Суть этих приложений состоит в том, что при решения различных задач для уравнений с частными производными приходится использовать обыкновенные дифференциальные уравнения. Особенно рельефно этот факт просматривается при решении уравнений с частными производными первого порядка. Чтобы найти общее решение линейного или квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка, требуется находить общий интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [28]