Изолирующий интеграл

Cтраница 1

Изолирующий интеграл уменьшает размерность многообразия фазового пространства, на котором лежит траектория системы. [1]

Четвертый изолирующий интеграл должен свести орбиту к точке, что едва ли вообще является орбитой. Таким образом, могут существовать, самое большее, три изолирующих интеграла. [2]

В реальном потенциале энергия и момент импульса обычно являются единственными очевидными изолирующими интегралами. [3]

Чтобы сделать следующий шаг, заметим, что, поскольку фазовая плотность должна быть однозначной, она может зависеть только от изолирующих интегралов. Эти последние суть упомянутые выше аддитивные интегралы. Это, однако, не означает, что фазовая плотность должна зависеть от всех воз ожных аддитивных или изолирующих интегралов. [4]

Поскольку прямые наблюдательные доказательства существования третьего интеграла являются довольно шаткими, много усилий было приложено, чтобы решить обратную задачу, задавшись вопросом, имеют ли совместимые с данными наблюдений модели галактического потенциала третий изолирующий интеграл. Здесь, как и в большинстве задач, связанных с гравитационными системами, для достижения адекватного понимания необходимы и аналитические, и численные методы расчета ообит. [5]

Схематические границы расположения различных классов орбит на фазовой плоскости г - г. Звезды могут двигаться все время и всюду в покрытых точками ( ящичные орбиты или заштрихованных ( трубочные и оболочечные орбиты областях. [6]

Если бы энергия была единственным изолирующим интегралом, то орбиты могли бы проходить всюду внутри кривой нулевой скорости, заполняя случайным образом всю ограниченную ею площадь. Однако численное интегрирование орбит при определенных потенциалах показывает, что они часто привязаны к подобластям внутри кривой нулевой скорости, по крайней мере, в течение долгого времени. Для таких подобластей бывают характерны формы, напоминающие ящики, удлиненные трубки и соприкасающиеся в двух местах оболочки. [7]

Что заставляет орбиты, лежащие вблизи диска, располагаться внутри таких живописных подобластей. Конечно же, еше один изолирующий интеграл. В исследованиях галактической структуры с диском интеграл, дополнительный к энергии и моменту импульса, обычно называется третьим интегралом. Является ли он изолирующим, зависит как от энергии орбиты, так и от детальной формы потенциала. [8]

Сейчас уместно указать на некоторые существующие различия между константами движения. Например, константы, определяющие фиксированную поверхность в фазовом пространстве, называются изолирующими интегралами. [9]

Схематическоое представление различных классов орбит на фазовой плоскости г - г. [10]

Теперь оставим плоскость г - г и возьмем другое сечение фазового пространства. Энергия Е ( г, z, r, Z) всегда является изолирующим интегралом, обеспечивающим одну связь между четырьмя координатами. Любые три координаты могут рассматриваться независимо и ими можно пользоваться для описания траектории. Для простоты мы сохраним условие осесимметричности системы. Каждое прохождение звезды сквозь плоскость z 0 характеризуется определенным значением г и г. На рис. 57 показаны схематически различные прохождения. [11]

Схематическоое представление различных классов орбит на фазовой плоскости г - г. [12]

В частности, те орбиты, которые имеют настолько малый начальный момент импульса, что проходят вблизи ядра Галактики ( как правило, ближе, чем в - 1 кпс от центра), могут сильно рассеиваться ядром. Это может превратить радиальное движение в движение, перпендикулярное плоскости, всегс лишь после одного или лвух пересечений системы звездой, на что требуется обычно несколько сотен миллионов лет. Мощный рассеивающий центр разрушает изолирующие интегралы. Малые изменения начальной орбиты приводят к огромному различию рассеянных орбит. В результате рассеянные орбиты теряют память о своем начальном состоянии. [13]

Данное значение z получается только для конечного числа радиусов г, если отношение к / а рационально. Рациональность величин к / а есть, таким образом, условие того, что / J является изолирующим интегралом. Если, с другой стороны, соотношение эпициклической и угловой частоты иррационально, то / 3 имеет бесконечное множество значений и не ограничивает орбиту. Звезда может двигаться всюду внутри ящика случайным образом, приближаясь сколь угодно близко к любому допустимому значению. Поскольку рациональных дробей много меньше, чем иррациональных ( рациональные составляют менее мощное множество), то существование точного третьего изолирующего интеграла - довольно редкое и специфическое обстоятельство. Оно отражает наличие локальной и глобальной симметрии и возможность разделить переменные в выражении для потенциала. [14]

Страницы: 1 2