Cтраница 2
В § 186 было показано, что внутренняя энергия есть однозначная функция состояния, чт. У не зависит от пути процесса и что dU есть полный диференциал. Там указывалось, что любое из этих трех свойств можно рассматривать как одну из формулировок первого начала термодинамики. [16]
Однако дальнейшие исследования показали, что днфсрениналь-ное уравнение п полных дифсренциалзх эквивалентно днум алгебраическим уравнениям -, известным как его интегральные эквиваленты. Проблема определения интегральных эквивалентов любого данного дифс [ Инициального ураьнения в полных диференциалах иэпестна как проблема Пфаффа. [17]
Полные диференциалы высших порядков. Полным диференциалом второго порядка функции и ( х, у) называется полный диференциал от ее полного диференциала. [18]
Дело в том, что уравнение ( 82) относится к изменению физического состояния однородного тела, уравнение же ( 105) - к любому физическому и химическому изменению состояния произвольной системы. Так как выражение ( 105), вообще говоря, не является полным диференциалом, то в общем виде его проинтегрировать нельзя; другими словами, второе начало не позволяет делать никаких общих заключений о конечном физико-химическом изменении состояния системы, если не известны ближе те внешние условия, которым система подчинена, как это, впрочем, можно было предвидеть и заранее и как это имеет место и для первого начала. Так как внешние условия можно выбирать произвольно, то среди них найдется, естественно, много таких, которые удовлетворят выставленному требованию. Мы изучим последовательно все три процесса, каждый из которых представляет особый интерес. [19]
Полные диференциалы высших порядков. Полным диференциалом второго порядка функции и ( х, у) называется полный диференциал от ее полного диференциала. [20]
Мы не будем здесь ( как и в предыдущих случаях) входить в рассмотрение того, как происходит здесь интеграция; нас интересует лишь геометрический смысл диференциального уравнения. Мы получим особый случай проблемы Пфаффа, если Xdx - - Ydy - - Zdz Q является полным диференциалом, или сделается таковым после умножения на некоторый множитель. В этом случае возникает вопрос об интегральных поверхностях. [21]
В (9.1) х являются координатами динамической системы, a dy мы будем называть диференцаалами квази-координат 1), или даференцаалами неголономных координат, ила же параметрами. Мы никогда не будем опускать слово диференциалы или какое-либо эквивалентное ему выражение, так как квази-коор-динаты или неголономные координаты не существуют в том общем случае, когда yfdx не являются полными диференциалами. К сожалению, эти благие намерения должны быть иногда принесены в жертву краткости, как это сделано, например, в заголовке этой главы. У Больцмана ( Bolzmann) [1] в 1902 г. и в недавней статье Го рака ( Horak) [7] содержатся утверждения, обнаруживающие неполное понимание этих обстоятельств, хотя, впрочем, эти утверждения не ведут к каким-либо незаконным аналитическим заключениям. [22]
U: она не зависит от путл изменения системы. Диферешшалы, обладающие этим сзойгтзом, в математике называются полными. Таким о5ойзом, dU есть полный диференциал от переменных состояния. [23]
Низшим характером, который вообще существует, является характер 1; он дает нормальную форму dz0 и, следовательно, соответствует тому случаю, когда выражение Пфаффа является полным диференциа-лом. Затем идет характер 2; для него в качестве нормальной формы получается z % dzv которая, будучи умножена на 1: z2, переходит в форму предыдущего случая. Следовательно, характер 2 относится к тому случаю, когда выражение Пфаффа с помощью надлежащего множителя может быть превращено в полный диференциал. [24]
Но для нашего коварианта это означает тождественное обращение его в нуль. Очевидно, это имеет место не всегда. В соответствии с этим выражения Пфаффа распадаются в зависимости от обращения или необращения в нуль нашего коварианта на такие, которые являются полным диференциалом, и на такие, которые им не являются. [25]