Cтраница 2
Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии получаются уже при использовании одного параметра. [16]
Это немедленно накладывает ограничения на форму пробных функций, так как эти функции содержат неизвестные величины ( параметры а), что, разумеется, делает невозможным использование численных методов для оценки интегралов. Конечно, можно выбрать пробные собственные функции так, чтобы интегралы можно было выразить в аналитической форме, однако это накладывает слишком большие ограничения на выбор пробных функций. [17]
Оценки Гельдера слабых решений, столь необходимые для нелинейной теории, получаются в гл. Эти результаты обобщают фундаментальные априорные оценки Гельдера, полученные Де Джорджи и являющиеся первым существенным достижением в теории квазилинейных уравнении с числом переменных, большим двух. Выбор пробных функций является основным техническим приемом для получения оценок, используемым постоянно в этой книге. [18]
Путем выбора более сложных пробных функций ( содержащих 13 вариационных параметров) Джеймсу и Кулиджу [125] удалось значительно улучшить согласие теории с экспериментом. [19]
К первой группе относятся попытки применения прямых методов. Эти методы обладают многими преимуществами, к числу которых относятся точность, возможность сокращения объема информации и экономичность. Однако сходимость этих методов в значительной степени зависит от выбора пробных функций, поэтому успешная реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев, например в задачах конвекции при наличии свободных и периодических границ, где известно аналитическое решение линейной задачи. [20]
Путем выбора более сложных пробных функций ( содержащих 13 вариационных параметров) Джеймсу и Кулиджу [125] удалось значительно улучшить согласие теории с экспериментом. [21]
Вычисления такого типа начинаются с выбора некоторой пробной функции 1Р, которая задается в аналитической форме и зависит от ряда параметров. Именно по этим параметрам и проводится варьирование. Точность вычислений естественно сильно зависит от выбора пробной функции и числа варьируемых параметров. [22]
Для высших состояний заданного типа ситуация в этом пункте не столь ясна. Практическая ценность результата 6 из § 2 невелика, так как обычно невозможно гарантировать необходимую ортогональность. Можно сказать, конечно, что, расширяя класс пробных функций, мы делаем высшее значение Е более стационарным, но эта процедура может приводить, а может и не приводить к уточнению численного результата. Однако в одном из последующих параграфов мы обсудим практически применяемый способ выбора пробных функций ( линейный вариационный метод), который дает регулярным образом уточняемые верхние границы также и к высшим собственным значениям. [23]
Тем не менее оно означает также, что разность / н1 - - / н11, а значит, в частности, и разность / н1 - / ни имеют неопределенный знак. Рассмотрим одно из практических следствий данного результата. Но из-за того, что заранее не известно, по какую сторону от / н1 лежит значение J 11, не существует какого-либо очевидного способа ( см. [33, 34]) выбора какого-то конкретного решения. Еще одна особенность уравнения ( 17), тесно связанная с предыдущей, состоит в том, что если проявить надлежащую осторожность при выборе пробных функций, то оно вообще может не иметь решений. [24]