Выбор - координатная функция
Cтраница 2
Методы сеток, по существу, устраняют трудности, присущие вариационным методам и связанные, как показано выше, с выбором координатных функций. Они довольно просто приводят к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений с ленточными, редко заполненными матрицами. Последнее-в значительной степени облегчает их решение. [16]
В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда ( два-три); при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [17]
 |
К расчет. балки по методу Ритца. [18] |
Подчеркнутые граничные условия являются кинематическими. Их выполнение при выборе координатных функций в методе Ритца является обязательным. [19]
Таким образом, метод конечных элементов в такой постановке имеет сходство с методом Ритца ( см. гл. Разница состоит в способе выбора координатных функций. В методе Ритца они задаются определенными во всей области тела через некоторые параметры, а в МКЭ - в пределах элемента через узловые перемещения. В частности, поэтому применение метода Ритца ограничивается относительно, простыми формами тела, а в МКЭ простую геометрию должны иметь лишь конечные элементы. [20]
При исследовании ползучести и устойчивости оболочек в большом в дальнейшем используем вариационное уравнение (11.20), однако для полноты предлагаемой теории получаем систему дифференциальных уравнений и краевые условия, соответствующие поставленной вариационной задаче. Знание главных и естественных краевых условий необходимо для выбора координатных функций. [21]
Точность полученного решения существенным образом зависит от полноты системы координатных функций. Согласно теореме Вейерштрасса, сходимость решения гарантируется при выборе координатных функций в виде алгебраических полиномов. [22]
На практике во многих случаях приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов рядов (IV.13), (IV.15), поэтому удачный выбор координатных функций имеет решающее значение. При решении вариационных задач теории обработки металлов давлением для выбора координатных функций ( их часто называют подходящими функциями) обычно используют результаты экспериментальных исследований. [23]
Основные затраты машинного времени требуются при восстановлении функции Ляпунова v - v ( /, X) с помощью интерполяционных формул. Трудоемкость вычислений трудно оценить, так как она существенно зависит от способа аппроксимации и выбора координатных функций. [24]
Применение вариационных или прямых методов ( Ритца, Галеркина и их разнообразных модификаций) также сопряжено с существенными трудностями. Сложная форма границы раздела сред и сложный вид краевых условий (1.7) и (1.8) в значительной мере осложняют выбор координатных функций. Неограниченный характер области, в которой ищется решение, затрудняет нахождение квадратур, с чем неизбежно связана численная реализация вариационных методов. Отмеченные недостатки сужают область применения вариационных методов для решения электростатических задач. [25]
Известно, что для решения задач теории поля, наряду с сеточными методами, широкое распространение получили вариационные методы, применение которых, однако, осложнялось рядом причин. Одной из этих причин являлась трудность построения координатных функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям при сколько-нибудь сложной границе области или при сложном характере самих условий на границе. Вопрос о выборе координатных функций решался сугубо индивидуально, отсутствовали какие-либо рекомендации по их построению. [26]
В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда ( два-три); при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [27]
Таким образом, метод Бубнова-Галеркина отличается от метода Ритца следующим: применяя метод Бубнова-Галеркина, координатные функции uir ( x) нужно выбирать так, чтобы они удовлетворяли всем г-раничным условиям. Преимуществом метода Бубнова-Галеркина часто является простота записи выражений ( 178), определяющих значения постоянных по заданной системе дифференциальных уравнений. При использовании метода Ритца приходится составлять функционал и отыскивать минимум этого функционала. Преимуществом метода Ритца перед методом Бубнова-Галеркина следует считать более легкий выбор координатных функций - они могут не удовлетворять естественным граничным условиям. [28]
Страницы: 1 2