Cтраница 2
Оно определяется свойствами: 1) линейность; 2) антикоммутативность. Аналогично определяется внешнее произведение трех форм. Внешние произведения базисных форм dxl f dx и dx [ / dx2 / dx интуитивно представляются как элементы площади и объема. Линейная комбинация Q - Adx2 Д dx3 Bdx3 Д dxl - - Cdxl Д / dx2 называется внешней формой второй степени. Она является подынтегральным выражением в поверхностном интеграле. Для вычисления JJ Q достаточно, зная параметрическое представление поверхности xl f ( ы1, и2), выч-ислпть dx: : ( df / du) dul ( df / du2) du, подставить полученные выражения в форму Q и перемножить dxl / dx по правилу внешнего умножения. После этого получается Jj Fdu1 Д du2, который вычисляется как обычный двойной интеграл. Аналогично выражение Adx1 / dx2 / dx является подынтегральным выражением в тройном интеграле. Дело сводится просто к разложению определителя detlja /, bj, ck по строке. [16]
Это умножение превращает Н ( КД) в антикоммутативное кольцо. Естественность этого умножения ( функториальность), а также его ассоциативность, дистрибутивность и антикоммутативность вытекают из соответствующих свойств тензорного умножения. [17]
Наши определения устанавливают тесную связь между операторами и матрицами. В частности, необходимым и достаточным условием коммутативности ( или антикоммутативности) двух матриц является коммутативность ( или антикоммутативность) соответствующих операторов, и наоборот. [18]
Тогда группа SOP изометрично вкладывается в стандартную сферу S - радиуса / р ( с центром в точке 0) как гладкое подмногообразие, на котором евклидова метрика р ( А, В) индуцирует двусторонне инвариантную риманову метрику, совпадающую с формой Киллинга. Алгебра Ли зор группы SOp вложена в пространство к как подпространство матриц X таких, что Хт - X, и пересечение sof f) SOp является компактным симметрическим пространством SOp / U ( p / 2), если р четно. Все векторы J, ( 1 a 8) лежат в плоскости зо ] 6т и, в силу условия антикоммутативности, все они попарно ортогональны. [19]
В этом параграфе будет показано, что, как и следовало ожидать, в случае пространств, допускающих клеточные разбиения, описание внешнего умножения допускает упрощения. Этот факт имеет несколько важных следствий: ( а) В случае регулярных клеточных комплексов внешнее умножение можно вычислять, исходя лишь из одной клеточной структуры. В случае клеточных комплексов внешнее умножение описывается очень простыми формулами, способствующими развитию интуитивного геометрического представления об этом умножении, ( с) Мы сможем показать, что в случае регулярных клеточных комплексов внешнее умножение подчиняется закону антикоммутативности. В качестве следствия это свойство будет установлено и для w - умножения. [20]
Эти преобразования образуют группу, являющуюся расширением группы Пуанкаре. Соответствующая алгебра генераторов группы, наряду с обычными генераторами группы Пуанкаре, содержит сшшорные генераторы, а также антикоммутаторы, этих генераторов. Представления группы суперсимметрии - суперполя Ф - заданы на суперпространствах, включающих помимо обычных координат х особые алгебраич. В силу точной антикоммутативности 9, 9 все степени их компонент, начиная со второй, обращаются в нуль ( соответствующая грассманова алгебра наз. [21]