Cтраница 1
Антиномия Рассела, обнаруженная в теории множеств, не имеет специфически математического характера и является общим логическим парадоксом. Так, сам Рассел приводит такой пример: деревенский парикмахер решил брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. [1]
Наиболее-известна антиномия Рассела, опубликованная в 1903 году. [2]
Это множество участвует в антиномии Рассела. [3]
Прежде всего здесь следует указать на истолкование парадоксов типа порочного круга ( типичным примером такого рода парадоксов является известная антиномия Рассела) как логического выражения движения - в некоторых его формах - которое в свете теории автоматов получило новый смысл. Развитие вычислительной математики и техники показало, что разработка такого рода устройств - автоматов, облегчающих и заменяющих не физический, а умственный труд человека в различных сферах его деятельности - по-своему ставит вопрос об учете в математической логике параметра времени. Говоря в своей Кибернетике о машинной логике, Винер указал на родство решения парадоксов Кантора и Рассела посредством введения теории типов и путем явного использования параметра времени. Способ, которым мы решаем парадоксы во втором случае, состоит в присвоении некоторого параметра каждому утверждению; этим параметром служит момент времени, в который оно высказано. [4]
Из антиномии Кантора можно сделать примерно те же выводы, что и из антиномии Рассела. В частности, можно считать, что антиномия Кантора представляет собой доказательство несуществования множества М всех множеств. Интересно в связи с этим отметить, что существуют аксиоматич. [5]
Из антиномии Кантора можно сделать примерно те же выводы, что и из антиномии Рассела. В частности, можно считать, что антиномия Кантора представляет собой доказательство несуществования множества М всех множеств. Интересно в связи с этим отметить, что существуют аксиоматические системы теории множеств, например, известная система New Foundations У. [6]
Из антиномии К антора можно сделать примерно те же выводы, что и из антиномии Рассела. В частности, можно считать, что антиномия Кантора представляет собой доказательство ие-существонаиия множества М всех множеств. Интересно в связи с этим отметить, что существуют аксиоматич. Куайна, в к-рых существование множества М можно установить. Парадокс Кантора в New Foundations избегается благодаря тому, что в этой системе теорему Кантора о мощности удается доказать лишь в век-рой специальной форме, недостаточной для проведения парадокса. [7]
Рассмотрим деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы установим, что он бреет себя и не бреет себя. Можно легко выйти из затруднения, заметив, что парадокс свидетельствует только о том, что такого парикмахера не может существовать. Рассматриваемая антиномия показывает, что условие, которому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, следовательно, невыполнимым. Правда, такая точка зрения естественно вызывает к жизни проблему описания критериев для внутренне непротиворечивых свойств, однако, в отличие от ситуации в антиномии Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь актуальной. Она относится к житейской ситуации, а такого рода ситуации и вообще далеко не всегда бывают точно сформулированными или надежно установленными. Кроме того, внутренняя непротиворечивость - вовсе не единственный и, по-видимому, не главный критерий приемлемости житейского суждения. Иное дело математическое рассуждение, от которого мы вправе ожидать значительно большей окончательности и убедительности. [8]
Проблему точного описания свойств можно считать удовлетворительно решенной с созданием точных логико-математических языков. Что же касается описания критериев для выделения класса свойств, определяющих множества, то эта проблема весьма далека от своего разрешения. Более того, современные результаты аксиоматической теории множеств свидетельствуют, по-видимому, в пользу того, что окончательного решения этой проблемы не существует. Антиномия Рассела произвела очень большое впечатление на современников именно потому, что эта антиномия возникает на самой начальной стадии изучения теории множеств. Тем не менее имеются различные пути избежания парадоксов, которые, хотя их и нельзя признать окончательными или наиболее естественными, обеспечивают большие практические удобства и проливают свет как на природу парадоксов, так и на логические связи других теоретико-множественных принципов. [9]
Проблему точного описания свойств можно считать удовлетворительно решенной с созданием точных ло-гико-математич. Что же касается описания критериев для выделения класса свойств, определяющих множества, то эта проблема весьма далека от своего разрешения. Антиномия Рассела произвела очень большое впечатление на современников именно потому, что эта А. Тем не менее имеются различные пути избежания парадоксов, к-рые, хотя их и нельзя признать окончательными или наиболее естественными, обеспечивают большие прак-тич. [10]
Проблему точного описания свойств можно считать удовлетворительно решенной с созданием точных логико-математич. Что же касается описания критериев для выделения класса свойств, определяющих множества, то эта проблема весьма далека от своего решения. Антиномия Рассела произвела очень большое впечатление на современников именно потому, что эта А. Тем не менее имеются различные пути избежания парадоксов, к-рые ( хотя их и нельзя признать окончательными или наиболее естественными) обеспечивают большие прак-тич. [11]
Антиномия Деревенский парикмахер ( вариант парадокса Рассела, сформулированный им применительно к житейской ситуации; несколько иная форма этой А. Рассмотрим деревенского парикмахера, к-рый бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы установим, что он и бреет себя и не бреет себя. Можно легко выйти из затруднения, заметив, что парадокс свидетельствует только о том, Что такого парикмахера не может существовать. Правда, такая точка зрения естественно вызывает к жизни проблему описания критериев для внутренне непротиворечивых свойств, однако, в отличие от ситуации с антиномией Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь актуальной. Она относится к житейской ситуации, а такого рода ситуации вообще далеко не всегда бывают точно сформулированными или надежно установленными. [12]
Это - вариант парадокса Рассела, сформулированный применительно к житейской ситуации. Рассмотрим деревенского парикмахера, к-рый бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы установим, что он бреет себя и не бреет себя. Можно легко выйти из затруднения, заметив, что парадокс свидетельствует только о том, что такого парикмахера не может существовать. Правда, такая точка зрения естественно вызывает к жизни проблему описания критериев для внутренне непротиворечивых свойств, однако, в отличие от ситуации в антиномии Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь актуальной. Она относится к житейской ситуации, а такого рода ситуации и вообще далеко не всегда бывают точно сформулированными или надежно установленными. Кроме того, внутренняя непротиворечивость - вовсе не единственный и, по-видимому, не главный критерий приемлемости житейского суждения. [13]
Рассмотрим деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы установим, что он бреет себя и не бреет себя. Можно легко выйти из затруднения, заметив, что парадокс свидетельствует только о том, что такого парикмахера не может существовать. Рассматриваемая антиномия показывает, что условие, которому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, следовательно, невыполнимым. Правда, такая точка зрения естественно вызывает к жизни проблему описания критериев для внутренне непротиворечивых свойств, однако, в отличие от ситуации в антиномии Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь актуальной. Она относится к житейской ситуации, а такого рода ситуации и вообще далеко не всегда бывают точно сформулированными или надежно установленными. Кроме того, внутренняя непротиворечивость - вовсе не единственный и, по-видимому, не главный критерий приемлемости житейского суждения. Иное дело математическое рассуждение, от которого мы вправе ожидать значительно большей окончательности и убедительности. [14]
Антиномия Деревенский парикмахер ( вариант парадокса Рассела, сформулированный им применительно к житейской ситуации; несколько иная форма этой А. Рассмотрим деревенского парикмахера, к-рый бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы установим, что он и бреет себя и не бреет себя. Можно легко выйти из затруднения, заметив, что парадокс свидетельствует только о том, Что такого парикмахера не может существовать. Правда, такая точка зрения естественно вызывает к жизни проблему описания критериев для внутренне непротиворечивых свойств, однако, в отличие от ситуации с антиномией Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь актуальной. Она относится к житейской ситуации, а такого рода ситуации вообще далеко не всегда бывают точно сформулированными или надежно установленными. [15]