Cтраница 2
Теорема о монодромии не позволяет решить вопрос о выделении регулярной ветви функции F ( z), аналитической в неодносвязной области D. Эта задача исследуется так. [16]
D совпадает с одним из значений многозначной функции Inz. Очевидно, что однозначную непрерывную ветвь логарифма можно выделить в области D, если в этой области функция arg z допускает выделение однозначной непрерывной ветви. [17]
Совершенно очевидно, что необходимым и достаточным условием однолистности функции в области D служит существование обратной к ней функции, определенной в образе этой области. In w допускает выделение в этой области голоморфной ветви. Выделение голоморфной ветви In w в плоскости w с выколотой точкой w 0 невозможно. [18]
В процессе этого построения следует обратить внимание на процедуру реализации. Она снова заключается в смещении нуля, которое выполняется с помощью полюса сопротивления или проводимости в бесконечности. Кроме того, порядок реализации нулей передачи неполностью произвольный с тем, чтобы остающееся в результате выделения ветви сопротивление удовлетворяло необходимым условиям. [19]
Задача о выделении голоморфных ветвей аналитической функции является важной составной частью задачи об исследовании характера многозначности этой аналитической функции. Однако при этом мы обычно не бываем связаны выбором области D. Чаще всего задача состоит в том, чтобы в данной области провести разрезы таким образом, чтобы в разрезанной области рассматриваемая аналитическая функция распалась на голоморфные ветви. Для этого достаточно взять разрезанную область од-носвязной. Задача о выделении голоморфной ветви в многосвязной области возникает, когда по каким-либо побочным соображениям в: адо уменьшить число разрезов. [20]
Задача о выделении регулярных ветвей аналитической функции является важной составной частью задачи об исследовании характера многозначности этой аналитической функции. Однако при этом мы обычно не бываем связаны выбором области D. Чаще всего задача состоит в том, чтобы в данной области провести разрезы таким образом, чтобы в разрезанной области наша аналитическая функция распалась на регулярные ветви. Для этого достаточно взять разрезанную область односвязной. Задача о выделении регулярной ветви в многосвязной области возникает, когда мы по каким-либо побочным соображениям хотим уменьшить число разрезов. [21]
Для такого расположения материала имеются достаточные основания. Во-первых, с точки зрения логики изложения аналитическое продолжение играет в теории аналитических функций не меньшую роль, чем теория пределов в анализе. Во-вторых, это очень выгодно с чисто практической точки зрения, так как раннее использование аналитического продолжения позволяет сэкономить много места и времени в дальнейшем. Обычные возражения против такого расположения основаны на мнении о трудности этих вопросов для понимания. Однако их трудность сильно преувеличена. Кроме того, при введении элементарных многозначных функций те же трудности все равно приходится преодолевать, причем более искусственным ( а потому и менее понятным) способом. Во всяком случае опыт чтения лекций по теории аналитических функций в Московском физико-техническом институте убедил меня в том, что две-три трудные ( но вполне доступные) лекции вполне оправдываются лучшим пониманием всего дальнейшего материала. Значительно легче проходили и упражнения, так как вопрос о выделении регулярной ветви переставал быть трудоемким и малопонятным. [22]
Порядок изложения материала в настоящем учебнике существенно отличается от других учебников по теории аналитических функций. Речь идет о месте строгой теории многозначных аналитических функций, излагаемой на основе аналитического продолжения. Для такого расположения материала имеются достаточно веские основания. Во-первых, с точки зрения логики изложения аналитическое продолжение играет в теории функций комплексного переменного не меньшую роль, чем теория пределов в анализе. Во-вторых, это очень выгодно с чисто практической точки зрения, так как раннее использование аналитического продолжения позволяет сэкономить много места и времени в дальнейшем. Обычные возражения против такого расположения основаны на мнении о трудности этих вопросов для понимания. Однако трудность сильно преувеличена. Кроме того, при введении элементарных многозначных функций эти трудности все равно приходится преодолевать, причем более искусственным ( а потому и менее понятным) способом. Во всяком случае опыт чтения лекций по теории аналитических функций в Московском физико-техническом институте убедил меня в том, что две-три трудные ( но вполне доступные) лекции вполне оправданы лучшим пониманием всего дальнейшего материала. Значительно легче проходили и упражнения, так как вопрос о выделении регулярной ветви переставал быть трудоемким и малопонятным. [23]