Cтраница 2
Теперь мы покажем, что для дифференциальных операторов второго порядка с вещественной главной частью условие (2.20) фактически эквивалентно выпуклости области ( 0 относительно нулевых бихарактеристик. [16]
СО Э / СО-Всли класс К - совокупность всех голоморфных в области D функций, то эти условия соответственно называются условиями голоморфной выпуклости области и условием голоморфной отделимости. При их выполнении область D называется сильно голоморфно выпуклой. [17]
Как следует из сказанного выше, при исследовании задачи (5.4), (5.5) на выпуклость, кроме установления выпуклости целевой функции / ( х), существенным является утверждение выпуклости области допустимых решений R. [18]
Такой способ рассуждения, не имеющий смысла при классическом подходе, подтверждается в бейесовской интерпретации тем фактом, что абсолютная величина наклона (6.7) в точке В есть уменьшающаяся функция а; это следует из выпуклости области. Тогда чем меньше а, тем больше должна быть априорная вероятность для Я0 ( или потеря / 0), чтобы считать допустимыми маловероятные события и не принимать решения выбрать Ях в качестве правильной гипотезы. [19]
Такая трактовка позволяет во многих случаях получать выводы о задаче Дирихле на основании известных результатов о задаче Плато ( напр. В общем случае установлено, что для разрешимости задачи Дирихле в коразмерности 1 для любой непрерывной граничной функции необходимо и достаточно, чтобы вектор средней кривизны края dD был направлен внутрь области D ( при п2 это означает выпуклость области D); при этом решение задачи единственно. Что касается невыпуклых областей, то, напр. [20]
Разным значениям переменной4 в - мерном пространстве соответствуют параллельные гиперплоскости как разные уровни целевой функции. С увеличением значения переменной Х0 уровни целевой функции переносятся параллельно в определенном направлении. Нас интересуют уровни, имеющие общие точки с областью допустимых значений. Учитывая ограниченность и выпуклость области допустимых значений, делаем вывод, что максимальный уровень целевой функции имеет общие точки с ее фаничными точками. [21]
Предположим, что известны максимальные значения проекции вектора у на направления, определяемые единичным вектором а. Проводя из концов этих проекций при разных а перпендикулярно к ним гиперплоскости, получим некоторую замкнутую область, заключенную внутри плоскостей. Так как единичный вектор а зависит от и-1 параметров ( проекций на координатные оси), мы получаем я-1 параметрическое семейство гиперплоскостей. Описанный выше геометрический метод получения области существенным образом связан с предположением о выпуклости области, т.е. если какие-либо две точки принадлежат границе области, то все точки отрезка прямой, соединяющего эти две точки, принадлежат области. [22]
Используем тот факт, что решение задачи линейного программирования достигается в одной из вершин области, определенной ограничениями, и что в любой вершине я из ( п пг) компонент равны нулю. Остальные т компонент вектора х, которые могут принимать положительные значения, образуют базис, и симплекс -; ный метод по существу заключается в переходе от одной вершины к сопряженной. При этом множество ненулевых компонент меняется за счет того, что в старом базисе одна из них полагается равной нулю, а вместо нее выбирается ненулевой другая компонента, прежде равная нулю. Возможность перехода от некоторой вершины к сопряженной так, чтобы при этом выполнялись ограничения, гарантируется ввиду выпуклости области допустимых значений, определяемой ограничениями. [23]