Cтраница 2
Разностную схему уравнения Лапласа запишем с помощью первого из названных методов, который заключается в замене производной в каждом узле ( /, /) разностным выражением, включающим только узлы шаблона. [16]
Найт и др. [71] недавно решили нелинейную задачу теплопроводности с учетом произвольной зависимости теплофизичееких свойств от температуры, аппроксимировав первую и вторую пространственные производные температуры центральными разностными выражениями. Полученная система обык - О венных дифференциальных уравнений была решена методом Рунге - Кутта. Конечный результат отражает полную картину изменения температуры шалящий емкости по времени. Сравнение теоретических расчетов Найта с экспериментальными данными, приведенными Либенбергом и др., показывает хорошее совпадение в пределах экспериментальной ошибки в определении зависимости величины коэффициента температуропроводности от температуры. Для дополнительного уточнения расчетов захолажииания необходимы дальнейшие экспериментальные исследования. [17]
МЕТОД СЕТОК решения уравнений с частными производными, метод конечных разностей, состоит в замене частных производных, входящих в уравнение и в граничные и начальные условия, разностными выражениями, содержащими линейные комбинации значений функций решения. Точки пересечения этих прямых называют узлами. Узел называют внутренним, если он принадлежит множеству G dG вместе со всеми соседними узлами, и граничным, если он не является внутренним, но лежит на расстоянии, не большем, чем шаг, от границы dG области G. Пусть ищ M ( 0 i7i, yo kl) есть значения искомой функции и и ( х, у) в узлах сетки. [18]
Для системы точек О, Р, Q, К и S, показанных на рис. 18 - 9, расчетная формула составляется путем подстановки в уравнение ( 18 - 29) вместо производных соответствующих разностных выражений, вычисляемых аналогично выражениям ( 18 - 25) и ( 18 - 26) в предположении, что дуга ROP мало отличается от прямолинейного отрезка. [19]
Подставляя записанные выражения в дифференциальное уравнение, например (1.7), получаем систему уравнений в конечных разностях. Аналогичные разностные выражения составляются и для контура области. При этом необходимо использовать ряд законтурных точек. [20]
Отметим, что существуют различные формы конечно-разностных выражений для производных. Вопрос о разностных выражениях подробнее рассматривается в следующей главе. Если исходное дифференциальное уравнение линейное, то задача будет состоять в решении системы линейных алгебраических уравнений. Если же исходное дифференциальное уравнение нелинейное, задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. [21]
Известной проблемой, возникающей при построении разностной схемы для уравнения (6.3.2), является аппроксимация нелинейного конвективного члена и ды / дх. Использование для этой цели разностных выражений типа (2.2.6), называемых центральными разностями, приводит при малых значениях е к нарушению монотонности ( см. гл. [22]
Левая, правая и центральная разностные производные построены по значениям функции в двух узлах, производная (14.5) - по значениям в трех узлах. Совокупность узлов, фигурирующих в разностном выражении того или иного дифференциального оператора, называется его шаблоном. [23]
Функции fn ( y) выбираются достаточно произвольно. N, приводит к методу прямых, в к-ром производные по у заменяются разностными выражениями, отвечающими выбранным интерполяционным формулам. [24]
Вариационная постановка задачи имеет определенные преимущества, которые вытекают из того, что порядок дифференциального оператора понижается в 2 раза. Отсюда создаются условия более удобного формулирования граничных условий, смягченных требований к координатным функциям и более простого представления разностных выражений. [25]
Очевидно, что эта функция может слегка меняться за время всего цикла, но так как котел всегда находится в состоянии, близком к критическому эти изменения будут очень малы. Следует отметить, что эти соображения неприменимы по отношению к Р, так как эта величина часто входит в разностные выражения, например, когда приходится вычитать Р из КР, так что изменения Р в несколько процентов могут давать большие погрешности. [26]
В (21.27) мы неявно установили взаимно однозначное соответствие между N неизвестными Ur к N уравнениями системы, так что каждое уравнение решается относительно соответствующего неизвестного. Для уравнений в частных разностях обычно используют естественное соответствие между значением неизвестной функции U в некотором внутреннем узле сетки и разностным выражением в этой точке. Для удобства мы записали А так, что r - е уравнение соответствует г - и неизвестной компоненте. Ясно, что jV уравнений (21.27) независимы и могут быть решены в любом порядке. [27]
В осесим-метричном случае необходимо произвести дополнительный пересчет, учитывая расстояние данной дробной ячейки до оси симметрии. Разностные формулы для дробных ячеек легко получить из разностных выражений для целых ячеек. [28]
Очевидно, что вычислительные машины принесли с собой революцию в численные методы, но в первую очередь она отбросила принципы минимума, так как они были слишком стары и слишком медленны. Вперед выдвинулся метод конечных разностей, поскольку он позволял легко дискретизировать дифференциальные уравнения. В § 1.6 мы уже видели, как каждая производная заменяется соответствующим разностным выражением. Физическая область покрывается решеткой или сеткой, в каждом узле которой строится уравнение, такое, например, как - и / 1 - - 2и / - Му 1 / 12 / у. Математически задача сводится к системе Au f, на разработку быстрых методов решения которой для случая больших размерностей и сильной разреженности матриц в основном были направлены усилия математиков-вычислителей в пятидесятые годы. [29]
Матрица А является редкой матрицей, так как ее плотность мала. Действительно, элемент А ( Р, Q) отличен от нуля только тогда, когда Р и Q входят в одно разностное выражение, представляющее производную или граничное условие рассматриваемой задачи. В противоположность редкой матрице плотной называется такая матрица, плотность которой велика. [30]