Cтраница 2
Предположим, что множество точек области D, которое описывается уравнением ( 32), является простой гладкой кривой а. Кривая а называется линией параболического вырождения. Если кривая а делит область D на две части, в одной из которых уравнение ( 14) принадлежит эллиптическому типу, а в другой - гиперболическому типу, то мы скажем, что в области D уравнение ( 14) смешанного типа. [16]
Не выяснено, что нового вносится при исследовании задачи Пуанкаре даже для одного эллиптического уравнения второго порядка, когда носитель данных полностью или частично состоит из точек параболического вырождения. В случае нерасщоплененных эллиптических систем с параболическим вырождением на границе области, в которой ищется решение, не исследованы случаи, подобные задаче Е, рассмотренной в пункте 4 § 3 настоящей главы. [17]
Как уже было отмечено в пункте 3 § 4 гл. I, для гиперболических уравнений второго порядка при отсутствии параболического вырождения корректно поставлены как начальная (1.147), так и характеристическая (1.148) задачи Коши. [18]
Хотя в [1-3] также были построены отрезки разложений в ряды по степеням г ( с точностью О ( г2)), оказалось, что коэффициент при г3 из уравнений двойных волн уже не определяется - уравнение для него оказывается неразрешимым. Факт этот связан с тем, что для уравнений двойных волн поверхность г 0 является линией параболического вырождения и одновременно - характеристикой. [19]
Как уже было отмечено в пункте 3 § 1 гл. I, эллиптичность системы (1.12) с двумя независимыми переменными означает, что в области задания этой системы корни соответствующего характеристического полинома Р ( А) ( характеристического детерминанта (1.29)) все комплексны и попарно сопряжены. В точках параболического вырождения этот полином должен иметь по крайней мере один действительный корень, кратность которого не меньше двух. [20]
При D 2 у рассматриваемой гиперповерхности устойчивым образом могут появляться вырождения относительно контактной структуры, которые естественно назвать параболическими. Действительно, на многообразии особых точек нашей гиперповерхности естественно выделяются эллиптические и гиперболические области в соответствии с нормальной формой, к которой приводится гиперповерхность в окрестности данной точки. В случае общего положения эллиптические и гиперболические области разделены гиперповерхностями с параболическими вырождениями. По всей видимости, при типичном параболическом вырождении гиперповерхность имеет функциональные модули даже относительно формальных диффеоморфизмов. [21]
При D 2 у рассматриваемой гиперповерхности устойчивым образом могут появляться вырождения относительно контактной структуры, которые естественно назвать параболическими. Действительно, на многообразии особых точек нашей гиперповерхности естественно выделяются эллиптические и гиперболические области в соответствии с нормальной формой, к которой приводится гиперповерхность в окрестности данной точки. В случае общего положения эллиптические и гиперболические области разделены гиперповерхностями с параболическими вырождениями. По всей видимости, при типичном параболическом вырождении гиперповерхность имеет функциональные модули даже относительно формальных диффеоморфизмов. [22]
В связи с типом уравнения краевые условия ставятся на границах полосы, как для канала. Область определения 1 з разделяется на подобласти трех видов: содержащие вращающиеся решетки, содержащие неподвижные решетки и свободные от них. На гра - ницах подобластей, вообще говоря, происходит конечный разрыв коэффициентов при старших производных, поэтому решение может существовать в классе обобщенных функций с интегрируемым квадратом. Итак, прямая осесимметричная задача сводится к смешанной краевой в одно-связной области для квазилинейного эллиптического уравнения с конечным числом линий разрыва коэффициентов. Для сжимаемой жидкости это уравнение, как и все уравнения газовой динамики, эллиптично только на ограниченном вместе с первыми производными решении, и вопрос его однозначной разрешимости даже в более простых задачах остается открытым. Эти вопросы имеют не только принципиальное, но и непосредственное практическое значение, будучи связанными с устойчивостью закрученных течений и со сходимостью итерационных схем при нахождении численных решений. Так как для этой задачи уравнение (6.4) ( и аналогичное для течения сжимаемой жидкости) имеет гиперболический тип, то для него ставятся задачи Гурса и три смешанные, если только граница подобласти, содержащей решетку, не совпадает с линией параболического вырождения тица уравнения. [23]