Cтраница 2
Заметим еще, что дифференциалы высших порядков ( га2) не обладают уже свойством инвариантности, как это имело место для дифференциала первого порядка. [16]
К цервой части первой книги относятся такого рода задачи, где требуется найти функцию одного переменного х по данному соотношению между дифференциалами первого порядка. [17]
Если при вычислении дифференциала первого порядка функции г - f ( х, у) совершенно безразлично, будут ли аргументы независимыми переменными или функциями других независимых переменных ( свойство инвариантности дифференциала первого порядка), то при вычислении дифференциалов высших порядков надо строго различать эти два случая. [18]
Если при вычислении дифференциала первого порядка функции z - f ( х, у) совершенно безразлично, будут ли аргументы, независимыми переменными или функциями других независимых переменных ( свойство инвариантности дифференциала первого порядка), то при вычислении дифференциалов высших порядков надо строго различать эти два случая. [19]
Если такие состояния с особенностями функции S ( отсутствие стационарной точки) возможны, условия (11.2) как критерий равновесия системы оказываются Недостаточными: с одной стороны, при равновесии невозможны никакие действительные изменения S, с другой - дифференциал первого порядка функции S может отличаться от нуля. Критерий (11.1), как легко видеть, свободен от подобных ограничений. Возможность существования отмеченных выше особенностей функции S и других характеристических функций часто не принимают во внимание и пользуются условием (11.2), хотя как видно, оно не может, строго говоря, служить критерием равновесия. [20]
Дифференциал первого порядка равен сумме произведений частных производных по независимым переменным на дифференциалы соответствующих независимых переменных [153], и мы можем поэтому утверждать, что при значениях независимых переменных, при которых функция имеет максимум или минимум, ее дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль. [21]
Однако метод, которым я пользовался, является до такой степени неясным, что непонятно, каким образом найти другой путь нахождения того же интеграла; а поскольку методом разделения переменных здесь ничего получить нельзя, я не надеялся получить здесь что-либо при помощи интегрирующих множителей, так как я сам тогда стоял на той точке зрения, что путем применения множителей нельзя получить больше того, что дает разделение переменных, поскольку имеем дело с дифференциалами только первого порядка. Но затем при более внимательном рассмотрении я убедился в том, что каждый раз, когда удается получить полный интеграл дифференциального уравнения, то из него всегда можно извлечь такие множители, после применения которых уравнение не только становится интегрируемым, но дает после интегрирования именно тот же самый, уже известный интеграл. Но при этом необходимо, чтобы был найден полный интеграл, так как по частным интегралам, очевидно, нельзя сделать никаких заключений. [22]
В первой из них будет рассматриваться соотношение между дифференциалами первого порядка; во второй же мы встретимся с такими интегрированиями, где задается соотношение между дифференциалами второго или более высоких порядков. [23]
Такая функция должна будет во все стороны от начальной точки или уменьшаться, или увеличиваться; я предположу, что она во все стороны увеличивается и, следовательно, в самой точке имеет минимум. Тогда, если только ее первые и вторые производные конечны, дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль, а дифференциал второго порядка не может становиться отрицательным; я предположу, что он всегда положительный. В частности, для пространства, если определять положение точки прямоугольными координатами, мы имеем: ds У 2 ( dx2); пространство, следовательно, подпадает под этот простейший случай. [24]
Итак, вторые и высшие дифференциалы зависят от порядка, которому взаимно подчинены дифференциалы переменного количества х, а этот порядок является произвольным. Первые же дифференциалы этим условием не стеснены. Поэтому между дифференциалами первого порядка и дифференциалами последующих порядков в отношении их разыскания существует огромное различие. [25]
Интегральное исчисление применяется гораздо шире, чем к интегрированию выражений, содержащих только одно переменное. В этом частном случае мы находим функцию одного переменного по данному выражению ее дифференциала; таким же образом интегральное исчисление должно быть распространено на разыскание функции двух или большего числа переменных, когда задано какое-либо соотношение между дифференциалами. Далее, интегральное исчисление не ограничивается только дифференциалами первого порядка, но должно также дать правила, с помощью которых можно находить функции как одного, так и двух или большего числа переменных, когда дано некоторое соотношение между дифференциалами второго или более высокого порядка. [26]
Слабости новой системы очевидны, по крайней мере для нас. Из этого искажения точки зрения проистекает та чрезмерная и почти исключительная роль неопределенного интеграла в ущерб определенному, которую мы видим уже у Барроу, а затем, начиная с Ньютона и Лейбница, всюду; и здесь XIX век поставил все на свое место. В частности, необходимо признать, что лейбиицевское понятие дифференциала не содержало в действительности никакого смысла; в начале XIX века оно потеряло доверие, которое восстанавливалось лишь постепенно; и если употребление дифференциалов первого порядка уже полностью узаконено, то дифференциалы высших порядков, такие удобные в употреблении, на самом деле еще до сих пор не узаконены. [27]