Cтраница 3
Точно таким же образом связаны понятия минимального и максимального элементов. Вообще, имея какое-либо высказывание о частично упорядоченном множестве и заменяя: на, получаем новое высказывание. Высказывания, связанные таким образом, называются двойственными. [31]
Q) - это новое высказывание, утверждающее истинность обоих высказываний Р и Q; Р / Q ( читается: Р или Q) - это новое высказывание, утверждающее истинность по крайней мере одного из высказываний Р и Q. Если R - высказывание, то R ( читается: не R, или неверно, что R) - новое высказывание, утверждающее, что R - ложное высказывание. [32]
Каждому высказыванию А можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание А ложно. Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием. Это новое высказывание обозначают через А и называют отрицанием высказывания А. В высказывании А говорится, что А ложно. [33]
Простейшей формой рассуждений является умозаключение - получение из одного или нескольких высказываний нового высказывания. Ап, из которых делается логический вывод, называются посылками, а новое высказывание В - заключением, следствием. Возможность вывода заключения из посылок обеспечивается логической связью между ними. [34]
Современный человек - то есть в первую очередь представитель стандартной западной или прозападной ментальное - характеризуется прежде всего фанатичной приверженностью к клише, своеобразным ориентирам в замкнутом умственном пространстве, которое ему кажется единственно возможным и безопасным. Клише - не обязательно только то, что известно и сто раз повторено. Безопасная, ожидаемая, предсказуемая банальность также имеет характер клише, хотя бы формально она и являлась новым высказыванием. В каждом современном массо-во-профаническом человеке сидит безошибочный внутренний редактор с нюхом на свое и чужое, даже когда речь не идет о прямом интеллектуальном вызове. Процитируйте профану, не называя имени, имама Хомейни, например: Пот рабочих и кровь солдат священны и драгоценны - и он тут же насторожится: Что это, что это, что это. [35]
В ( 1), типичном определении логического правила, горизонтальная линия отделяет гипотезы от заключения. В ( 2) символ h обозначает выводимость в аксиоматической системе. Мы рассматриваем три аксиомы определения 1.8.1 как формулы, выводимые в аксиоматической системе. Новые высказывания получаются при помощи этих трех аксиом и правила Modus Ponens. В следующем примере 1.8.3 демонстрируется, как можно применить аксиомы и правило Modus Ponens для вывода формулы логики высказываний А - А. [36]
Большая часть этой книги будет посвящена наиболее элементарному разделу математической логики, который носит название алгебра логики. Другое часто употребляемое название - алгебра высказываний - связано с очень важной интерпретацией этой теории, с которой мы начнем наши рассмотрения. В алгебре высказываний рассматриваются некоторые вопросы, связанные с образованием сложных высказываний. Если у нас имеется несколько высказываний, то при помощи логических связок и отрицаний из них можно образовать различные новые высказывания. При этом исходные высказывания принято называть простыми, а вновь образованные высказывания - сложными. Эти названия не носят абсолютного характера, так что высказывание, которое в одной ситуации мы считаем простым, в другой может рассматриваться как сложное, и наоборот. [37]
Помимо только что рассмотренных четырех логических операций в математике используется еще одна простая, но очень важная операция - операция отрицания. Эта операция соответствует логической связке не. Каждому высказыванию А можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание А лбжно. Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием, причем истинным, если А ложно, и ложным, если А истинно. Это новое высказывание обозначают через А и называют отрицанием А. [38]
Помимо только что рассмотренных четырех логических операций в математике используется еще одна простая, но очень важная операция - операция отрицания. Эта операция соответствует логической связке не. Каждому высказыванию А можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание А ложно. Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием, причем истинным, если А ложно, и ложным, если А истинно. Это новое высказывание обозначают через А и называют отрицанием А. [39]