Cтраница 2
Следовательно, нам прежде всего надлежит вкратце показать, каким образом уравнение в дифференциалах второго порядка, записанное обычным образом, можно привести к нашему видз, какой бы дифференциал мы ни принимали постоянным. [16]
Если при значениях независимых переменных, найденных из уравнений ( 42 1), дифференциал второго порядка функции сохраняет постоянный знак при всевозможных достаточно малых по абсолютной величине приращениях независимых переменных, то функция при этих значениях имеет экстремум, причем максимум будет в том случае, когда дифференциал второго порядка отрицателен, а минимум - когда он положителен. [17]
Если при значениях независимых переменных, найденных из уравнений ( 42 1), дифференциал второго порядка функции сохраняет постоянный знак при всевозможных достаточно малых по абсолютной величине приращениях независимых переменных, то функция при этих значениях имеет экстремум, причем максимум будет в том случае, когда дифференциал второго порядка отрицателен, а минимум - когда он положителен. [18]
Можно показать, что независимо от макроскопических размеров системы Д9 / ДА ведет себя как дифференциал второго порядка и при ДА - - 0 также падает до нуля. [19]
Вторая теорема об идентификации ( теорема 6.6) позволяет найти матрицу Гессе скалярной функции по ее дифференциалу второго порядка. [20]
Мы привели более подробный вывод, чтобы подчеркнуть важность выбора подходящих независимых переменных, когда приходится иметь дело с дифференциалами второго порядка. [21]
Для того чтобы решить вопрос, какие из значений независимых переменных, получаемых из уравнений ( 42 1), доставляют функции максимум или минимум, или ни то, ни другое, обращаются к исследованию дифференциала второго порядка этой функции. [22]
Если при значениях независимых переменных, найденных из уравнений ( 42 1), дифференциал второго порядка функции сохраняет постоянный знак при всевозможных достаточно малых по абсолютной величине приращениях независимых переменных, то функция при этих значениях имеет экстремум, причем максимум будет в том случае, когда дифференциал второго порядка отрицателен, а минимум - когда он положителен. [23]
Если при значениях независимых переменных, найденных из уравнений ( 42 1), дифференциал второго порядка функции сохраняет постоянный знак при всевозможных достаточно малых по абсолютной величине приращениях независимых переменных, то функция при этих значениях имеет экстремум, причем максимум будет в том случае, когда дифференциал второго порядка отрицателен, а минимум - когда он положителен. [24]
Условием термодинамического равновесия при постоянных температуре и давлении является минимальность термодинамического потенциала. В качестве достаточного для малых отклонений от равновесия условия минимальности Ф остается требование положительности дифференциала второго порядка. Рассмотрим это условие для однородной системы. [25]
Каждая из двух книг, составляющих интегральное исчисление, удобно подразделяется на части, сообразно порядку дифференциалов, из соотношения которых нужно найти искомую функцию. Именно: первая часть имеет дело с соотношением между дифференциалами первого порядка1), а вторая-с соотношением между дифференциалами второго порядка; сюда же можно отнести и дифференциалы высших порядков, так как найденные результаты пока еще скудны. [26]
Такая функция должна будет во все стороны от начальной точки или уменьшаться, или увеличиваться; я предположу, что она во все стороны увеличивается и, следовательно, в самой точке имеет минимум. Тогда, если только ее первые и вторые производные конечны, дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль, а дифференциал второго порядка не может становиться отрицательным; я предположу, что он всегда положительный. В частности, для пространства, если определять положение точки прямоугольными координатами, мы имеем: ds У 2 ( dx2); пространство, следовательно, подпадает под этот простейший случай. [27]
Легко также понять, что так как я вывел принцип движения из принципа покоя, то последний должен быть также следствием первого, хотя доказательство в этом случае является более трудным. Ибо, если хотят перейти от движения к покою, то должны предположить движение бесконечно малым, а это приводит к большим спорам относительно бесконечно малых скоростей и пространств, пробегаемых в течение бесконечно малого времени, которые будут выражаться дифференциалами второго порядка. Но доказав тождественность этих принципов, следует только воспользоваться понятием усилия в случае равновесия, и убедиться, что оно приводит к тому же, как если бы мы действительно вошли в детали бесконечно малого движения. [28]