Cтраница 1
Абсолютные дифференциалы da, da и dA являются тензорами того же ранга и типа, что а, а и А. [1]
Вообще, абсолютный дифференциал порядка р от произвольного, не менее чем р раз дифференцируемого тензорного поля представляет собой тензорное поле той же валентности, что и исходное поле, а его абсолютная производная порядка р - тензорное поле, валентность которого на р единиц больше валентности исходного поля. [2]
Таким образом, абсолютный дифференциал суммы тензоров равен сумме абсолютных дифференциалов слагаемых. [3]
Таким образом, абсолютный дифференциал произведения тензоров равен абсолютному дифференциалу первого множителя, умноженному на второй множитель, плюс произведение первого множителя на абсолютный дифференциал второго. [4]
Аналогично окажется, что абсолютный дифференциал такого поля образует тензор той же валентности, а абсолютная производная - тензор на единицу большей валентности. [5]
В силу 5.32 равенство абсолютного дифференциала нулю означает, что тензор переносится вдоль линии L параллельно. [6]
Выражение 6 а называют абсолютным дифференциалом поля иа. Абсолютный дифференциал имеет смысл только при определенном направлении, задаваемом дифференциалами dxa, и следовательно, поле иа переносится параллельно вдоль кривой xa xa ( t), если абсолютный дифференциал иа при бесконечно малом смещении вдоль этой кривой равен нулю. [7]
Эти формулы показывают, что абсолютный дифференциал тензора aijk есть результат свертывания тензора dxl и абсолютной производной aiji, i этого тензора. [8]
Это равенство означает, что абсолютный дифференциал одноконтраеариантного тензора ( в отличие от обычного дифференциала) также является одноконтравариантным тензором. [9]
Выражение & и а называют абсолютным дифференциалом поля иа. Абсолютный дифференциал имеет смысл только при определенном направлении, задаваемом дифференциалами dxa, и следовательно, поле иа переносится параллельно вдоль кривой ха ха ( t), если абсолютный дифференциал иа при бесконечно малом смещении вдоль этой кривой равен нулю. [10]
Для тензора поля аналогично можно получить абсолютный дифференциал и абсолютную производную второго и высших порядков. Так, для тензора поля ( aijh) вторые частные производные его компонент по координатам xs и xr, aijhsr образуют тензор поля пятого ранга, который называется абсолютной производной второго порядка. [11]
Таким образом, независимо от порядка абсолютный дифференциал является тензором того же ранга, что и исходный тензор поля, а абсолютная производная представляет собой тензор, ранг которого больше ранга исходного тензора на порядок производной. [12]
Обозначим теперь через D и В соответствующие абсолютные дифференциалы. [13]
Точно так же, как были построены абсолютный дифференциал и абсолютная производная первого порядка для произвольного тензорного поля, можно построить абсолютный дифференциал и абсолютную производную второго порядка, а затем и высших порядков для этого поля. [14]
Здесь 1 обозначает модуль n - форм абсолютных дифференциалов и HpR - когомологии де Рама. [15]