Cтраница 2
Из числа разделов, которые должны были бы составлять исчерпывающее изучение дифференциальных уравнений с современной точки зрения, мы выбрали для изложения в этой книге лишь два наиболее элементарных, включающие теоремы существования и линейные уравнения для действительного переменного. С начала XVIII века математики были убеждены, что общий интеграл дифференциального уравнения п-то порядка зависит от п произвольных постоянных и что вообще, существует, и притом единственный, интеграл, принимающий вместе со своими п - 1 первыми производными заданные значения для заданного значения XQ переменной; это убеждение они основывали на процессе ( восходящем к Ньютону) постепенного вычисления коэффициентов ряда Тейлора для решения в точке х0 при помощи самого дифференциального уравнения и п первых коэффициентов. Однако до Коши никто не занимался ни исследованием сходимости полученного таким образом ряда, ни доказательством того, что его сумма является решением дифференциального уравнения; разумеется, речь шла лишь об аналитических дифференциальных уравнениях. [16]