Cтраница 2
Процедуры elmbak, dirbak, combak и ortbak включены в этот алгоритм, поскольку они предназначены для восстановления собственных векторов исходной матрицы и не зависят от конкретного способа вычисления собственных векторов матриц Хессенберга. [16]
Эти замечания наводят на мысль, что если имеется группа очень близких собственных значений, то гораздо больший смысл имеет вычисление произвольного ортонормнрованного базиса в инвариантном подпространстве, отвечающем этой группе, чем вычисление отдельных собственных векторов для каждого собственного значения. Но где провести границу между просто близкими и очень близкими собственными значениями. [17]
Если вычислены только собственные значения, то нельзя простым способом определить, которое из комплексно сопряженной пары принадлежит исходной матрице. Вычисление собственных векторов разрешает эту неясность. [18]
Это случай кратных корней: кратности корней 1 и - 1 равны двум. Приступим к вычислению собственных векторов. [19]
Трудности появляются в тех случаях, когда матрица имеет несколько одинаковых собственных значений. Тогда при вычислении собственного вектора с помощью программы Г - Ж получают две строки матрицы, которые состоят из нулей. Это означает, что для компонентов соответствующих векторов можно выбрать произвольные значения и с помощью оставшейся системы найти два линейно независимых вектора. [20]
Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матрицы, а затем нормализовать эти вектора ( так, чтобы сумма элементов каждого вектора давала единицу), получая тем самым вектор приоритетов данного уровня. Существует множество способов вычисления собственных векторов, отличающихся по сложности и эффективности. Например, для матрицы 4x4 это даст следующее. [21]
Точность при этом ограничивается лишь точностью вычисления предыдущих собственных векторов и точностью подавления соответствующих им компонент в последующих вычислениях. [22]
Синтез приоритетов ( СП) - это вычисление собственных векторов, которые после нормализации и являются векторами приоритетов. Собственные векторы искать сравнительно трудоемко, поэтому достаточно близкие оценки можно получить с помощью геометрического среднего, для чего элементы каждой строки перемножаются и из результата извлекается корень n - й степени. [23]
Вычисление этих характеристик матриц является одной из распространенных операций, выполняемых над матрицами. По сложности реализации определение собственных векторов является весьма трудоемким, поскольку при известных значениях характеристических корней вычисление собственных векторов сводится к поиску ненулевых решений систем однородных уравнений. [24]
Диагонализация матриц с размерностью менее ста не слишком сложна при использовании существующих ЭВМ и занимает относительно немного времени. Однако для матриц больших порядков эта задача осложняется: во-первых, диагонализация матриц больших порядков требует применения ЭВМ с большей оперативной памятью и более высоким быстродействием; во-вторых, что особенно важно в квантовохимических расчетах с самосогласованием по матрице плотности, точность вычисления собственных векторов и собственных значений должна быть высокой, что приводит к дополнительному увеличению времени расчета. [25]
Соответствующие собственные векторы определяют независимо для каждой трехдиагональной подматрицы С. Собственные векторы различных подматриц строго ортогональны. При первом обращении к блоку вычисления собственного вектора реализуется лишь часть итерации. L X У и затем решают матричное уравнение Ux ае, где а - предельно малая величина, выбранная такой, чтобы не допустить переполнения разрядной сетки. Если фактор роста имеет допустимую величину, то нормированный вектор х следует считать собственным вектором. Если это не так, то предусмотрено выполнение еще четырех полных итераций. [26]
Векторы пронумерованы по убыванию соответствующих им собственных чисел. Таким образом, внешняя сумма по k от М 1 до Л задает участие в вычислениях только шумовых собственных векторов. Внутренняя сумма представляет собой вычисление спектра собственного вектора на частоте со. Шумовые собственные векторы ортогональны всем комплексным экспонентам с частотами сот, содержащимся в сигнале. Поэтому при со сога все внутренние суммы равны нулю, и W ( co) - оо. [27]
Пакет MATLAB ориентирован на решение широкого класса вычислительных задач, предполагающих активное использование матричных операций. Взаимодействие с пакетом осуществляется на естественном матричном языке в интерактивном режиме. Имеется большой набор встроенных операций: арифметические действия над матрицами, обращение матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собственных векторов и собственных значений, быстрое преобразование Фурье, расчет цифровых фильтров и др. Есть возможность работы с разреженными матрицами. [28]
Процедура tristurm определяет как собственные значения, так и соответствующие векторы. Входной параметр т не должен превышать числа собственных значений в заданном интервале, в противном случае выполнение процедуры tristurm прекращается. Обращение к процедуре при значении параметра т - 1 позволяет определить число собственных значений, расположенных в заданном интервале. В первую очередь осуществляется сравнение внедиагональных элементов с двумя соседними диагональными элементами с целью проверить первые на малость. Если такие элементы найдены, то матрицу представляют в виде прямой суммы трехдиагональных матриц меньшей размерности. Собственные значения каждой из этих матриц, принадлежащие заданному интервалу, определяются методом деления отрезка пополам та к же, как в процедуре bisect ( алг. Поскольку при вычислении собственных векторов предполагают, что собственные значения верны с машинной точностью, то параметр epsl нельзя назначать достаточно большим, как это было в процедуре bisect. [29]