Cтраница 2
Следим за отмеченными местами, проходя в обратном порядке все преобразования по вычислению ранга матрицы. Затем вычеркиваем в исходной матрице отмеченные строки и столбцы. [16]
Если некоторый минор матрицы А порядка г не равен нулю, а все окаймляющие его определители равны нулю, то ранг матрицы А равен г. Сформулированное утверждение позволяет упростить вычисление ранга матрицы. [17]
В настоящее время имеется много разнообразных программных средств для выполнения символьных вычислений ( Mathcad, MAPLE, Mathematica и др.) со встроенными функциями, к числу которых принадлежит функция вычисления ранга матрицы, заданной в символьном виде. [18]
Будем считать ранг матрицы равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю. При вычислении ранга матрицы определение всех миноров г - - 1-го порядка может оказаться громоздким. [19]
Будем считать ранг матрицы равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю. При вычислении ранга матрицы определение всех миноров ( r - fl) - ro порядка может оказаться громоздким. [20]
Будем считать ранг матрицы равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю. При вычислении ранга матрицы определение всех миноров ( г 1) - го порядка может оказаться громоздким. [21]
То же явление имеет место при вычислении ранга матрицы. Увеличение числа нулей осуществляется с помощью свойства 6 ранга матрицы. [22]
Если при элементарных преобразованиях этой матрицы эти величины не удается исключить, то их значения могут повлиять на ранг МХу. Во-вторых, даже когда учтены стехиометрические соотношения молярных долей, результат вычисления ранга в ряде случаев зависит от численных значений молярных долей неподвижных веществ. [23]
Развитые в предыдущих пунктах методы решения линейных систем упираются в необходимость вычисления ранга матрицы и нахождения ее базисного минора. После того, как базисный минор найден, решение сводится к технике вычисления определителей и к использованию формул Крамера. [24]
Первое слагаемое этой формулы выражает линейную часть ранга, а вторая является нелинейной. Существенно последовательный характер вычисления значений второго слагаемого объясняет те трудности, с которыми приходится сталкиваться при попытках распараллелить процедуру вычисления ранга. [25]
Из этой теоремы, а также теоремы о базисном миноре ( см. Базисный минор) следует, что если в матрице А имеется минор М порядка г, отличный от нуля, а все миноры матрицы А, О. Поэтому для определения ранга матрицы достаточно найти какой-нибудь отличный от нуля минор М, все О. Этот способ вычисления ранга матрицы называется методом окаймляющих ми-норов для вычисления ранга матрицы. [26]
Действительно, большинство методов вычисления определителя, ранга и других матричных инвариантов основаны на приведении матрицы к некоторому подходящему виду преобразованиями, не меняющими данный инвариант, таким образом, эти методы основаны на линейных отображениях, сохраняющих данный матричный инвариант. Например, известно, что квадратную матрицу с коэффициентами из произвольного поля можно привести к диагональному виду, где на диагонали стоят только нули и единицы, преобразованием, не меняющим ранга. Это позволяет найти простой алгоритм вычисления ранга квадратной матрицы порядка п, требующий О ( п3) операций. Аналогичный факт верен и для определителя. С другой стороны, простейший метод вычисления перманента квадратной п х гг-матрицы ( формула Райзера) требует ( п - 1) ( 2П - 1) операций умножения. [27]
I убедило нас, что вычисление определителя существенно упрощается после того, как в каком-либо из его столбцов ( или строк) получено возможно большее число нулевых элементов. То же явление имеет место при вычислении ранга матрицы. Увеличение числа нулей осуществляется с помощью свойства б ранга матрицы. [28]
Кроме того, вычисление определителей недостаточно численно устойчиво. Более удобной как с точки зрения трудоемкости, так и численной устойчивости является метод вычисления ранга, основанный на сингулярном разложении матрицы К. [29]
Доказанная теорема 1 может быть с пользой применена к вычислению ранга ( для матриц с конкретными числовыми элементами), а именно, если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований мы перешли от матрицы А к некоторой другой матрице С, то согласно теореме 1 гс ГА. Вычислив ранг гс, мы тем самым будем знать и ранг ГА. Оказывается, что, отправляясь от любой матрицы А, всегда можно прийти к такой матрице С, вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы в матрице С было достаточно много нулей. [30]