Cтраница 2
Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами ( точками) так, чтобы: 1) на пополненной прямой были определены соотношения лежит между и конгруэнтен, определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности III, 1 - 3 и аксиома Архимеда IV, 1; 2) по отношению к прежним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотношения лежит между и конгруэнтен сохраняли старый смысл. [16]
Мур показал достаточность сформулированных им аксиом конгруэнтности только при условии добавления к ним одной аксиомы непрерывности, вместо которой, как он показал, достаточно взять предложение о том, что каждый отрезок имеет среднюю точку. В работе Дорро это предложение было доказано на основе аксиом конгруэнтности Мура. [17]
Аффинное пространство отличается от евклидова пространства отсутствием метрики - расстояний между точками и углов между прямыми. К аффинному пространству можно прийти, отправляясь от различных систем аксиом, например от известной системы аксиом Гильберта евклидова пространства, отказавшись от группы аксиом конгруэнтности. В случае плоскости наряду с этим приходится ввести одну новую аксиому, связанную со свойствами параллельных прямых. Дополнение этой системы аксиом группой аксиом, связанной со скалярным произведением векторов, обращает аффинное пространство в евклидово. [18]
Совершенно аналогично Еп определяются пространство Лобачевского Л и аффинное пространство Ап. В пространстве Л выполняются все те же аксиомы, что в Еп, с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в А - все аксиомы Еп за вычетом аксиом конгруэнтности, вместе с чем исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n - мерное проективное пространство Рп. Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, к-рые инвариантны относительно этой группы. [19]
Наиболее интересным представляется мне то, как он показывает, что теорема Дезарга не вытекает из аксиом инцидентности для плоскости, но что последние вместе с теоремой Дезарга позволяют вложить плоскость в пространство большего числа измерений, для которого выполняются все аксиомы инцидентности; не менее интересен и другой пример: как Гильберт решает вопрос о необходимости аксиомы непрерывности Архимеда для того, чтобы восстановить полноту аксиом конгруэнтности, сокращенных путем исключения отражений. [20]
Если теперь провести анализ всего курса элементарной геометрии, то можно будет заметить, что при всех проводимых доказательствах не приходилось опираться ни на какие иные исходные положения, кроме тех, которые заключены в данной выше системе аксиом. Одни из этих положений, как аксиома о параллельных и некоторые из аксиом соединения, были высказаны явно, другие молчаливо считались как само собой разумеющиеся. Аксиомы конгруэнтности были заменены предложением о возможности свободного перемещения фигур в пространстве. Но само это предложение, как показывает более подробный его анализ, является сложной аксиомой, равносильной всей совокупности аксиом конгруэнтности. [21]
Именно на аксиомах движения основано изложение в школьном курсе геометрии. Вводить аксиомы конгруэнтности, основанные на от ношении для фигур, которое можно представить себе только с помощью движения для того, чтобы потом доказать существование этого самого движения, вряд ли целесообразно. [22]
Мур показал достаточность сформулированных им аксиом конгруэнтности только при условии добавления к ним одной аксиомы непрерывности, вместо которой, как он показал, достаточно взять предложение о том, что каждый отрезок имеет среднюю точку. В работе Дорро это предложение было доказано на основе аксиом конгруэнтности Мура. [23]
НЕДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия на плоскости, в к-рой Дезарга предложение может не иметь места. Теорема Дезарга не может быть доказана в плоскости на основе лишь проективных аксиом плоскости без привлечения аксиом конгруэнтности ( метрических аксиом) или без привлечения пространственных аксиом. Гильберта, за исключением аксиомы конгруэнтности треугольников, теорема Дезарга не может быть получена как их следствие. Геометрия этой плоскости является недезарговой, она не может рассматриваться как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы системы Гильберта, кроме указанной аксиомы конгруэнтности. [24]
Для этого необходимо сначала рассмотреть определение длины и основные положения общей геометрии Римана. Старые геометрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о свободном движении твердой системы точек ( аксиома конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями пространства с постоянной кривизной. [25]
НЕДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия на плоскости, в к-рой Дезарга предложение может не иметь места. Теорема Дезарга не может быть доказана в плоскости на основе лишь проективных аксиом плоскости без привлечения аксиом конгруэнтности ( метрических аксиом) или без привлечения пространственных аксиом. Гильберта, за исключением аксиомы конгруэнтности треугольников, теорема Дезарга не может быть получена как их следствие. Геометрия этой плоскости является недезарговой, она не может рассматриваться как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы системы Гильберта, кроме указанной аксиомы конгруэнтности. [26]
Если теперь провести анализ всего курса элементарной геометрии, то можно будет заметить, что при всех проводимых доказательствах не приходилось опираться ни на какие иные исходные положения, кроме тех, которые заключены в данной выше системе аксиом. Одни из этих положений, как аксиома о параллельных и некоторые из аксиом соединения, были высказаны явно, другие молчаливо считались как само собой разумеющиеся. Аксиомы конгруэнтности были заменены предложением о возможности свободного перемещения фигур в пространстве. Но само это предложение, как показывает более подробный его анализ, является сложной аксиомой, равносильной всей совокупности аксиом конгруэнтности. [27]
Для этого необходимо сначала рассмотреть определение длины и основные положения общей геометрии Римана. Старые геометрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о свободном движении твердой системы точек ( аксиома конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями пространства с постоянной кривизной. Изменения представлений о твердом теле, вносимые специальной и общей теорией относительности, привели к отказу от казавшейся до тех пор очевидной аксиомы конгруэнтности и к необходимости в основу рассуждений о пространстве и времени положить общую геометрию Римана. [28]
НЕДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия на плоскости, в к-рой Дезарга предложение может не иметь места. Теорема Дезарга не может быть доказана в плоскости на основе лишь проективных аксиом плоскости без привлечения аксиом конгруэнтности ( метрических аксиом) или без привлечения пространственных аксиом. Гильберта, за исключением аксиомы конгруэнтности треугольников, теорема Дезарга не может быть получена как их следствие. Геометрия этой плоскости является недезарговой, она не может рассматриваться как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы системы Гильберта, кроме указанной аксиомы конгруэнтности. [29]