Cтраница 2
Тем самым аксиома конструктивности оказывается ложной. [16]
При этом из аксиомы конструктивности Геделя ( см. Конструктивное по Ге-делю множество) вытекает отрицание С. Добавление к ZFC континуум-гипотезы также не позволяет дать ни положит. [17]
ZFL означает ZF плюс аксиома конструктивности. [18]
Сначала Гедель доказал, что если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZF с добавленной к ней аксиомой конструктивности. Затем было показано, что аксиома конструктивности влечет за собой и аксиому выбора, и обобщенную континуум-гипотезу. Эти классические результаты принадлежат более теории множеств, нежели теории моделей, и поэтому лежат вне круга вопросов, рассматриваемых в этой книге. Мы изложим сформулированный выше результат так, чтобы обойтись минимумом сведений из теории множеств. [19]
Но по теореме Скотта 4.2.18 это противоречит аксиоме конструктивности. [20]
SaSx, такая, что для всякого X k множество a / c iSa - - Xn стационарно. Для всякого регулярного k принцип л вытекает из аксиомы конструктивности, а из и следует отрицание С. [21]
Следующее наше приложение измеримых кардиналов касается аксиоматической теории множеств. Мы докажем, что из существования несчетного измеримого кардинала следует ложность аксиомы конструктивности, или - равносильно - из аксиомы конструктивности вытекает, что ю - единственный измеримый кардинал. [22]
Пусть ZF обозначает теорию множеств Цермело - Френкеля ( см. приложение), и пусть ZFL обозначает ZF плюс аксиома конструктивности ( в неявной форме эта аксиома появляется в гл. [23]
Следующее наше приложение измеримых кардиналов касается аксиоматической теории множеств. Мы докажем, что из существования несчетного измеримого кардинала следует ложность аксиомы конструктивности, или - равносильно - из аксиомы конструктивности вытекает, что ю - единственный измеримый кардинал. [24]
Отрицательные ответы на них уже были даны выше для случая а со. Согласно предложению 4.3.7, положительный ответ на второй вопрос влечет за собой положительное же решение первого. Недавно Прикри [1971] показал, что из аксиомы конструктивности следует регулярность всякого однородного ультрафильтра над ( лг. Из равенства V L г) также вытекает отрицательный ответ на второй вопрос ( см. упр. [25]
Мы приводим ее в необычной формулировке, благодаря чему оказывается возможным ограничиться минимумом сведений из теории множеств. Однако в ZF с аксиомой выбора можно показать, что наша формулировка эквивалентна более привычным вариантам аксиомы конструктивности. [26]
Улам [1930] поставил проблему, существуют ли измеримые кардиналы, и доказал, что каждый измеримый кардинал является недостижимым. Новый этап в работе с измеримыми кардиналами начался с того, что Ханф [1964] и Тарский [1962] показали, что первый недостижимый кардинал слабо компактен и, следовательно, не является измеримым. Кейслер [1962] применил конструкцию ультрапроизведения для того, чтобы дать другое доказательство неизмеримости первого недостижимого кардинала, а затем Скотт [1961] использовал ультрапроизведения, чтобы показать, что существование измеримого кардинала противоречит аксиоме конструктивности. Работы Ханфа и Скотта [1961] и Кейслера и Тарского [1964] показали, что слабо компактные кардиналы очень велики, а измеримые кардиналы - еще больше. С этих пор измеримые кардиналы и ультрапроизведения являются одной из главных тем исследования в теории множеств, особенно в работах Гейфмана, Кунена, Роуботтома, Силвера и Соловея. Некоторые из этих работ излагаются в разд. [27]
Аксиома конструктивности и основные свойства конструктивных множеств введены Геделем [1939, 1940] для доказательства того, что непротиворечивость ZF влечет за собой непротиворечивость ZFC ОКГ. Этот раздел основывается главным образом на работе Гейфмана и Роуботтома, а затем и Силвера. Используя итерированные ультрастепени, Гейфман доказал, что если существует измеримый кардинал а со, то все следствия теоремы 7.4.7 справедливы. Независимо Роуботтом доказал, что если существует кардинал Рамсея, то справедлив пункт ( i) теоремы 7.4.7. Используя методы, развитые в последнем разделе, Силвер доказал теорему 7.4.7 в ее настоящем виде. Она улучшает как результат Гейфмана, так и результат Роуботтома. Другие два основных результата этого раздела, теоремы 7.4.10 и 7.4.12, принадлежат Кейслеру и Роуботтому. Роуботтом первый доказал, что любой нетривиальный случай гипотезы Чэна противоречит аксиоме конструктивности. [28]