Cтраница 2
В этой главе будет рассмотрен ряд основных положений динамики, дающих возможность находить первые интегралы дифференциальных уравнений движения материальной точки. Эти положения динамики будем называть теоремами, так как они являются непосредственными следствиями из основных законов и аксиом механики. Заметим, что иногда эти теоремы называют также законами, но, конечно, при этом их надо четко отличать от основных законов механики - законов Ньютона. Основные теоремы динамики - это выводы в первую очередь из второго закона Ньютона, который поэтому называется основным законом механики. [16]
По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первыми, ни единственными в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из всех возможных движений - точнее говоря, из всех мыслимых движений - естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона, среди которых первая аксиома является частным случаем обобщенного принципа прямейшего пути Герца. Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого небходимо сравнение возможных движений между собой. Нечто аналогичное уже имело место и в принципе возможных перемещений. [17]
В этом законе заключается положение, которое обычно называют принципом виртуальных скоростей. Как мы показали в предыдущем отделе, этот принцип уже давно известен в качестве основного принципа равновесия, в силу чего его можно рассматривать как своего рода аксиому механики. [18]
Для решения своих проблем кинетика принимает без математического доказательства в качестве аксиом некоторые основные законы движения. Математических доказательств этих законов не существует, хотя законы эти настолько просты, что кажутся очевидными. Под аксиомами механики мы не будем понимать какие-то непреложные и настолько очевидные истины, что даже доказательства их совершенно излишни. Они представляют собой результат обобщения выводов, полученных из многолетних и многочисленных опытов и наблюдений над движением и покоем тел. У нас нет возможности проверить их непосредственно и мы располагаем лишь косвенными доказательствами. Мы видим, что следствия, вытекающие из этих аксиом, подтверждаются наблюдениями: сооружения, построенные на основании законов механики, прочны, машины работают, приборы и аппараты действуют, корабли плавают, самолеты летают, запущенные нами космические корабли выходят на предписанные им орбиты, а затмения Солнца и Луны происходят в точности так, как это было заранее предсказано. Все это является доказательством правильности всех положений механики ( в частности ее аксиом), на основе которых были рассчитаны эти сооружения, сконструированы машины и произведены астрономические вычисления, потому что верные практические результаты могут быть получены только из правильных предпосылок. [19]
Впервые основные аксиомы механики в систематическом виде были сформулированы в 1687 году Ньютоном. Их исследование с целью решения трех вышеперечисленных проблем было предпринято уже в нашем веке. Это потребовало изменить форму представления аксиом механики для того, чтобы максимально приспособить ее к применению методов математической логики. [20]
Результаты развития математического аппарата, моделирующего взаимосвязь непрерывности времени и пространства, с одной стороны, накопление частных результатов в электродинамике, термодинамике с другой, позволили этим частям физики четко сформулировать свои основополагающие принципы ( свои системы аксиом) и развиваться далее как чисто математические науки. Например, аксиомы классической электродинамики получаются, если к системе аксиом механики добавить уравнения Максвелла, определяющие совместную эволюцию электромагнитного поля и вещества. [21]
Механика изучает физические законы природы. Законы эти устанавливаются в результате наблюдений, изучения природы. Обобщая многовековой опыт человечества, Галилей и Ньютон сформулировали основные законы механики, которые должны рассматриваться как аксиомы механики. Вся классическая механика строится на этих аксиомах, имеющих в основе экспериментальные факты. [22]
Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который можно рассматривать как своего рода аксиому механики. Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании Аналитической механики. Оно основано на принципе блоков. [23]
По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первыми, ни единственными в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из всех возможных движений - точнее говоря, из всех мыслимых движений - естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона, среди которых первая аксиома является частным случаем обобщенного принципа прямейшего пути Герца. Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого небходимо сравнение возможных движений между собой. Нечто аналогичное уже имело место и в принципе возможных перемещений. [24]
Архимед, единственный из древних, оставивший нам теорию равновесия в двух своих книгах De aequiponderantibus или De planorum aequilibriis, является автором принципа рычага. Последний, как это зна-ют все механики, заключается в следующем. Если прямолинейный рычаг нагрузить с обеих сторон от точки опоры какими-либо двумя грузами таким образом, чтобы расстояния этих грузов от точки опоры были обратно пропорциональны самим грузам, то рычаг останется в равновесии, а нагрузка на точку его опоры будет равна сумме обоих грузов. Для случая, когда грузы равны и находятся на равном расстоянии от точки опоры, Архимед принимает этот принцип в качестве очевидной аксиомы механики или, по меньшей мере, в качестве опытного закона. К этому простому и первичному случаю он сводит случай, когда на рычаге помещены неравные грузы; последние, если они соизмеримы между собою, он представляет себе разделенными на несколько равных частей, эти части каждого груза он разделяет и помещает их на соответствующих плечах того же рычага на равных расстояниях, так что рычаг оказывается нагруженным большим числом малых равных между собою грузов, расположенных на равных расстояниях от точки опоры. Далее, он обосновывает правильность этой же теоремы для несоизмеримых грузов, доказывая посредством метода исчерпания, что между этими грузами не может быть равновесия, если они не находятся между собою в отношении, обратном их расстояниям от точки опоры. [25]
Аксиомы электродинамики, так же как и ньютоновские аксиомы механики, основываются на опыте, точнее говоря, на обобщении всего комплекса опытных фактов в упрощенной идеализированной форме. Так, например, закон инерции в механике кажется весьма отличным от того, что мы наблюдаем в частном случае на земных телах. Точно так же физические величины, используемые в этих электродинамических аксиомах, являются гораздо более абстрактными и математически более общими, чем те, которые измеряют на опыте посредством катушек, проволок и приборов со стрелками. Однако они, как и аксиомы механики, являются лишь обобщением разнообразных опытов. [26]