Cтраница 4
Учение о двугранных и многогранных углах принадлежит абсолютной геометрии, несмотря на то что соответствующие доказательства прямо или косвенно основываются у Евклида и обычно в наших учебниках на евклидовой аксиоме параллельности. Существуют и другие доказательства. [46]
Лежандр, так же как Гаусс, Лобачевский и Бояи, беспрестанно занимался теорией параллельных, но в отличие от них не пришел к дерзкой мысли о возможности построения непротиворечивой геометрии, основанной на отрицании аксиомы параллельности, а до конца жизни не оставлял попыток найти доказательство пятого постулата Евклида. В каждом почти издании своих начал геометрии Лежандр помещал новое доказательство евклидова постулата, но внимательный анализ показывал, что оно опиралось на совершенно очевидное, явно не высказанное предположение, которое эквивалентно пятому постулату. [47]
В другой работе Н. А. Глаголев [13] дает новую концепцию аксиом первой группы геометрии Евклида, сущность которой состоит в том, что аксиомам первой группы предпосылаются аксиомы принадлежности, введенные автором ранее для проективной геометрии; далее к этой же группе присоединяется аксиома параллельности в усиленной форме; в результате получается система проще гильбертовой системы, причем даже требование Розенталя о существовании одной точки на прямой ( вместо двух у Гильберта) становится излишним. [48]