Аксиома - транзитивность
Cтраница 2
В последние годы появился ряд работ [72], расширяющих сферу приложимости теоремы ожидаемой полезности на случай, когда неправомерно допущение непрерывности или отношение безразличия не является транзитивным. Исследование аксиомы транзитивности оказалось особенно важно для принципиальной оценки приложимости методов теории ожидаемой полезности к формульному описанию принятия человеком оперативных решений, поскольку в ходе работ установлено, что принимаемые человеком решения часто транзитивны. [16]
Другим интересным изменением аксиом Эрроу является правило консенсуса, сформулированное А. Он предложил изменить аксиому транзитивности, сохранив правило транзитивности только для случая строгого предпочтения между кандидатами. Сена, если хотя бы один избиратель по-иному сравнивает кандидатов А и В, чем все остальные, то система голосования объявляет кандидатов эквивалентными. Ясно, что такое правило приводит к коллективному безразличию. [17]
Все множество X разбивается на классы эквивалентных между собой ( одинаковых) элементов. Чтобы эксплицировать понятие сходства, Зи-ман [1] предложил убрать аксиому транзитивности и полученный более общий класс отношений назвал отношениями толерантности. [18]
Но тогда Х - Y по лемме 5.3. По аксиоме транзитивности из X - - Y и Y - Z следует X - Z. Поэтому получаем по аксиоме транзитивности X - - А. [19]
Пусть данное утверждение истинно для доказательств, содержащих менее р строк, и доказательство X - У состоит из р строк. Если X - Y принадлежит F или следует из аксиомы рефлексивности, то мы можем рассуждать так же, как и в базисе. Если X - - Y следует по аксиоме транзитивности из двух предыдущих строк доказательства, например из X - - Z и Z - Y, то доказательства обеих этих зависимостей состоят менее чем из р строк. По гипотезе индукции существует некоторое Х ( 1 включающее все атрибуты из Z. Теперь рассмотрим исполнение алгоритма 5.1 с Z вместо X. Согласно гипотезе индукции существует некоторое k, такое, что Z ( содержит все атрибуты из У. По наблюдению (), заменяя Х2 на Х ( и Хг на Z, получаем, что X ( l k) содержит все атрибуты из У. [20]
 |
Отношение г, показывающее, что зависимость Х - - К логически не следует из F. [21] |
Предположим, что зависимость X - Y не может быть выведена из аксиом. Рассмотрим отношение г с двумя кортежами, приведенное на рис. 5.1. Сначала покажем, что все зависимости в F удовлетворяются отношением г. Допустим, что V - W принадлежит F, но не удовлетворяется отношением г. Тогда V s X, так как иначе два кортежа г не совпадали бы по некоторому атрибуту из V. Так как V sX, зависимость X - V следует из аксиом по лемме 5.3. Зависимость V - W принадлежит F, откуда по аксиоме транзитивности имеем X - W. Поэтому согласно аксиоме рефлексивности W - Л, и снова благодаря транзитивности имеем, что зависимость X - - А следует из аксиом. Однако мы предполагали обратное. [22]
Мы не можем иметь отношение г с двумя кортежами, которые совпадают по X, но не совпадают по некоторому подмножеству X. Для доказательства надежности аксиомы пополнения А2 предположим, что имеется отношение г, которое удовлетворяет зависимости X - Y. Однако в нем существуют два кортежа t и и, которые совпадают по атрибутам XZ, но не совпадают по YZ. Поскольку эти кортежи не могут не совпадать по какому-либо атрибуту из Z, / им должны не совпадать по некоторому атрибуту, принадлежащему Y. Это противоречит нашему предположению о том, что зависимость X - Y справедлива для г. Надежность аксиомы транзитивности A3 нетрудно показать путем простого продолжения приведенного ранее доказательства того, что изД - 5и5 - - С следует А - С. Эта часть доказательства оставляется читателю для упражнения. [23]
Страницы: 1 2