Cтраница 3
Важными следствиями из аксиомы выбора являются лемма Цорна и теорема о том, что каждое множество можно вполне упорядочить. [31]
Что же касается аксиомы выбора для конструктивных функций 5.6, то она может и не выполняться в нашей простой модели. [32]
Таким образом, аксиома выбора не зависит от остальных аксиом теории множеств, и может быть принята как еще одна аксиома нашей теории. Но поскольку она встречает неодобрение многих математиков ( в особенности с появлением в последнее время не менее привлекательной аксиомы детерминированности AD, противоречащей АС), мы не будем рассматривать ее как еще одну аксиому ZF, а для теории ZF AC введем специальное обозначение ZFC. Следуя Куратовскому [9], все утверждения, которые мы будем доказывать в рамках теории ZFC, мы будем отмечать знаком, выставляя его перед ключевым словом утверждения, например, Теорема. [33]
В отличие от аксиомы зависимого выбора это второе утверждение может быть доказано ( в теории множеств) без каких-либо дополнительных предположений. [34]
Эта ослабленная форма аксиомы выбора обозначается АС0. Счетная аксиома выбора достаточно сильна, чтобы на ее основе получить доказательства сформулированных выше утверждений 1, 2, 3 и теоремы о счетной аддитивности меры Лебега. Однако специалисты по теории множеств предпочитают иметь, дело с более сильной счетной формой аксиомы выбора, постулирующей существование функции выбора в случае, когда множество, из которого требуется сделать очередной выбор, зависит от результатов уже совершенных выборов. Речь идет о следующей аксиоме. [35]
Это известный эквивалент аксиомы выбора ( Рабины [ 1, с. Бернштейну удается доказать данную импликацию ( с. [36]
Лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора и потому может рассматриваться как одна из аксиом теории множеств. [37]
Теорема Цорна эквивалентна аксиоме выбора Цермело, которая постулирует для любой системы непересекающихся множеств Xi i.i существование такого множества С, что Xi П С Vi Е /, состоящего ровно из одного элемента. Аксиома Цермело и теорема Цорна эквивалентны теореме Цермело о существовании вполне упорядоченной структуры на любом заданном множестве. [38]
Теорема Цорна эквивалентна аксиоме выбора Цермело, которая постулирует для любой системы непересекающихся множеств Xi i& i существование такого множества С, что JQ П С / г I, состоящего ровно из одного элемента. Аксиома Цермело и теорема Цорна эквивалентны теореме Цермело о существовании вполне упорядоченной структуры на любом заданном множестве. [39]
В главе, посвященной аксиоме выбора, моей книги Lefons sur Jes nombres transfinis, появившейся десять лет назад49, я указал мнения многих идеалистов и эмпиристов относительно понятий существования и множеетва. [40]
Следующее утверждение называется аксиомой выбора. [41]
Покажем, что из аксиомы выбора вытекает теорема Цермело. [42]
Заметим, что без аксиомы выбора утверждение о несуществовании наибольшего кардинала или равносильное утверждение о том, что Card - не множество, вообще говоря не доказуемы. [43]
Посмотрим, как используется аксиома выбора в доказательствах этих трех утверждений. [44]
Рассмотренные выше возражения против аксиомы выбора носили в некотором смысле внематематический характер. В 1907 г. Лебег [ 10J задался целью показать, что принятие аксиомы выбора приводит к неприемлемым ( по крайней мере для него) математическим результатам. [45]