Cтраница 1
Аксиомы евклидовой геометрии предназначены не для того, чтобы с их помощью пользоваться евклидовой геометрией, а для метагеометрических исследований, для исследования самих основ геометрии. Конечно, каждый настоящий математик понимает это. Если он излагает учащимся подобную аксиоматику, чтобы заниматься геометрией с учетом этой аксиоматики, то это опять-таки старая двойная мораль: одна - для Юпитера, другая - для быка. [1]
Однако аксиомы евклидовой геометрии преследуют совсем другие цели. Ведь каждый разумный человек пользуется евклидовой геометрией без всякой аксиоматики. Там, где рассматривают систему аксиом геометрии, речь идет совсем о другом: о размышлениях по поводу самих аксиом, об исследовании их взаимосвязей, об их зависимости или независимости, об их полноте. [2]
Аксиомой V завершается система аксиом евклидовой геометрии. [3]
Сравнивая все эти допущения с аксиомами евклидовой геометрии - особенно принимая во внимание тот факт, что Евклид использует массу терминов, не объясняя их значения-вы увидите, что аксиомы алгебры гораздо проще геометрических аксиом. Своей простотой по сравнению с евклидовой геометрией алгебра обязана именно этому факту. [4]
В этом пространстве существует декартова реализация аксиом евклидовой геометрии, в которой плоскость определяется как множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению, а прямая - как множество точек, удовлетворяющих совместной системе двух линейно независимых уравнений. Понятия принадлежности, отношения порядка для точек на прямой, понятие движения для пространства R3, прямых и плоскостей вводятся естественно. При таком конкретном понимании точек, прямых и плоскостей и отношений между ними устанавливается каждая из аксиом евклидовой геометрии. [5]
Таким образом, каждая реализация системы аксиом евклидовой геометрии изоморфна декартовой реализации. И следовательно, эта система аксиом полна. [6]
Система аксиом аффинной геометрии состоит из всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиом конгруэнтности. Система аксиом аффинной геометрии на плоскости включает еще аксиому Дезарга в соответствующей формулировке, учитывающей возможность параллельных прямых. [7]
Таким образом, мы построили реализацию системы всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы непрерывности, которая в этой реализации не имеет места. Это и доказывает независимость аксиомы непрерывности от остальных аксиом евклидовой геометрии. [8]
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства к-рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. [9]
В брошюре Кено Основания литературы читатель знакомится с несколько видоизмененными аксиомами евклидовой геометрии в том виде, в каком они изложены в Основаниях геометрии Давида Гильберта: слова точки, прямые и плоскости в гильбертовском тексте у Кено заменены словами слова, фразы и абзацы. Новые, литературные, аксиомы Кено снабдил весьма глубокомысленными комментариями. [10]
Для доказательства этой теоремы достаточно установить изоморфизм всех реализаций системы аксиом евклидовой геометрии. Так как две реализации, изоморфные третьей, очевидно, изоморфны, то достаточно доказать изоморфизм всех реализаций декартовой реализации. [11]
При таком конкретном понимании точек и прямых и отношений между ними каждая из аксиом евклидовой геометрии представляет собой некоторое утвержде ние, относящееся к вещественным числам. Сейчас мы покажем, что каждое из этих утверждений действительно имеет место в силу соответствующих теорем арифметики. [12]
Наблюдатель считает, что перечисленные геометрические объекты, отношения между ними и их преобразования удовлетворяют аксиомам евклидовой геометрии. Это позволяет ему измерять отрезки и углы и, следовательно, расстояние между точками пространства S, в частности. Далее наблюдатель может определить абсолютно твердое тело как тело, расстояние между двумя произвольными точками которого все время остается неизменным. Основные тела по определению являются абсолютно твердыми. Точки пространства S считаются жестко связанными с основным телом. Затем естественно вводятся понятие векторов как направленных пространственных отрезков прямых и операции над ними: умножение на скаляр и сложение по правилу параллелограмма. Они служат для описания сил и при условии арифметизации пространства S и времени для описания скоростей и ускорений. [13]
Чтобы приступить к решению этого вопроса, необходимо сделать одно допущение, а именно - предположить, что аксиомы евклидовой геометрии непротиворечивы. [14]
Геометрические построения в евклидовой плоскости, которые изучались древними и преимущественно изучаются и поныне, существенно зависят от аксиом евклидовой геометрии. В геометрии, созданной гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским, имеет место иная система аксиом, а поэтому и теория геометрических построений во многом иная. [15]