Cтраница 2
Для доказательства того, что множество отображений образует группу, нам придется поступить, как всегда, - проверить выполнение групповых аксиом. Мы занимались такого рода проверкой много раз, и общая процедура нам хорошо знакома. Однако наш опыт обращения с отображениями крайне ограничен, и они по-прежнему представляются нам какими-то странными образованиями, которые могут - и весьма сложным способом - переставлять элементы множеств. Поэтому будем проводить проверку очень тщательно, уделяя особое внимание некоторым тонким вопросам. В результате детального исследования мы установим, какие именно множества отображений множества на себя образуют группу. Вообще говоря, далеко не всякое отображение может служить элементом группы. Мы исследуем, насколько совместимы свойства отображения с групповыми аксиомами, и выясним, каким условиям должно удовлетворять отображение, являющееся элементом группы. [16]
Так как таких равенств всегда бесконечное множество, то вместо перечисления всех их даются обычно лишь такие равенства, из которых все остальные вытекают в силу групповых аксиом. Эти равенства и называются определяющими соотношениями. [17]
Напомним ( см. лекцию 3), что G - гладкое многообразие с умножением, которое является гладким отображением G x G - G и удовлетворяет обычным групповым аксиомам. [18]
Проверка того, что произведение ( 2 5 1) удовлетворяет групповым аксиомам с элементом ( 1 1) в качестве единицы, проводится исключительно на основании того факта, что групповые аксиомы выполняются для А и В. Кроме того, соответствие ( а, Ь) ( Д а) является изоморфизмом групп А X В и В X А, так что мы можем говорить о прямом произведении А и В, не указывая их порядка. Соответствие u ( a, 1) дает изоморфизм между А и множеством элементов из А X В, второй компонентой которых является единица. Отождествим А и В с этими подгруппами. Тогда мы можем говорить, что группа G - А X В является прямым произведением своих подгрупп А и В. [19]
В правильности таблицы умножения элементов D3 ( табл. 3.1) читатель может убедиться сам. Проверив выполнимость четырех групповых аксиом ( используя эту же таблицу), можно доказать, что Оз является группой. [20]
Операция умножения в группе G каждой ( упорядоченной) паре элементов g, g ставит в соответствие третий элемент g - gg, наз. Эта операция должна удовлетворять групповым аксиомам: 1) она ассоциативна, g ( g g) - - ( gg) g; 2) существует элемент е, наз. [21]
Так как мы уже проверили подстановкой, что элемент а - Ь удовлетворяет уравнению ах Ь, наше утверждение, что элемент сг Ъ является единственным решением, доказано. Отметим, что для доказательства были необходимы все групповые аксиомы. [22]
Мы покажем, что тогда А содержит бесконечно много соотношений. Для этого достаточно применить к соотношению R I групповые аксиомы. [23]
Используя это определение, проверим выполнимость в множестве 2 / т четырех групповых аксиом. [24]
Определим теперь матричную группу. Матричная группа есть набор квадратных матриц ( все матрицы одного-порядка), для которых выполняются групповые аксиомы; в матричной группе операция умножения является матричным умножением, а тождественный элемент есть единичная матрица. [25]
Бесконочная совокупность Т то аь таких векторов образует для па-шого дисконтинуума группу в математическом смысле, называемую группой трансляций. Принимая за групповую операцию операцию сложения векторов, легко проверить выполнимость в множестве Т четырех групповых аксиом ( см. стр. [26]
Мы знаем, что символ / для единичного элемента должен встретиться при любом упорядочении символов. В соответствии с групповой аксиомой с единичном элементе квадратная таблица должна обладать таким свойством: одна из строк нашей таблицы, а именно строка, помеченная символом I, тождественна строке символов, расположенной над таблицей, и один из столбцов, а именно столбец, помеченный символом I, тождествен столбцу символов, расположенному слева от таблицы. [27]
Для доказательства того, что множество отображений образует группу, нам придется поступить, как всегда, - проверить выполнение групповых аксиом. Мы занимались такого рода проверкой много раз, и общая процедура нам хорошо знакома. Однако наш опыт обращения с отображениями крайне ограничен, и они по-прежнему представляются нам какими-то странными образованиями, которые могут - и весьма сложным способом - переставлять элементы множеств. Поэтому будем проводить проверку очень тщательно, уделяя особое внимание некоторым тонким вопросам. В результате детального исследования мы установим, какие именно множества отображений множества на себя образуют группу. Вообще говоря, далеко не всякое отображение может служить элементом группы. Мы исследуем, насколько совместимы свойства отображения с групповыми аксиомами, и выясним, каким условиям должно удовлетворять отображение, являющееся элементом группы. [28]