Cтраница 2
Синтетический характер математического метода проявляется в выборе аксиом. Говоря об аксиомах, следует иметь в виду не только математические аксиомы в собственном смысле слова ( как, например, аксиома математической индукции, в которой Пуанкаре видел источник плодотворности математики и подтверждение высказанного Кантом тезиса о том, что математические суждения ( 7 512) суть априорные синтетические суждения), но и логические аксиомы. [16]
Грубо говоря, множество С () играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [17]
Грубо говоря, множество С ( з &) играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [18]
Оно может принимать форму физических аксиом ( например, законов движения Ньютона), обобщений экспериментальных наблюдений или чистой интуиции. Эти физические допущения формулируются на языке математики, что позволяет применять к ним математические аксиомы и теоремы. [19]
Охватывает все разделы современных начальных курсов физики и математики. Содержит определения основных понятий, физических и математических величин, формулировки физических законов, математических аксиом и теорем, важнейшие формулы. Основное назначение - помочь читателю быстро найти или восстановить в памяти необходимую информацию. Наличие сведений как по физике, так и по математике, приведенных в согласованную систему, создает удобство в практическом применении справочника, например при решении задач. [20]
Синтетический характер математического метода проявляется также в выборе аксиом, причем имеются в виду не только математические, но и логические аксиомы. Законы логики - это принципы, которыми руководствуются при умозаключениях и которые дальнейшему анализу на подлежат, в отличие от математических аксиом, подвергающихся логическому анализу. Однако не только наличие аксиом составляет характерную черту теоретической математики. Своеобразие математики кроется в вводимых ею определениях, которые, по существу, сводятся к тому, что вместо определенной комбинации старых символов используется один новый символ. Это позволяет сократить формулировки утверждений, содержащихся в теоремах, которые в противном случае были бы трудно обозримыми. Формализм математического метода основан на том, что в математических рассуждениях разрешается использовать понятия лишь в том смысле, какой вложен в них определением. Приписывать какой-нибудь другой, не содержащийся в определении смысл, запрещается. Более того, из самого определения исключается все то, что может допустить неоднозначное толкование. [21]
Про аксиому о верхней грани (1.24) лишь с большой натяжкой можно сказать, что она известна из повседневного опыта. Но и аксиома Евклида о существовании единственной параллели, лежащая в основе геометрии, находится в таком же положении. Опыт не диктует нам с полной однозначностью математические аксиомы; между опытом и системой науки лежит еще этап формирования аксиом, которые-в рамках одного и того же опыта-могут быть одними или совсем другими. [22]
Грубо говоря, множество С () играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [23]
Грубо говоря, множество С ( з &) играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [24]
Правда, опыт с математическими объектами нельзя осуществить в чистом виде, поскольку эти объекты являются идеализациями и не встречаются в природе. Всякий опыт выполняется с реальными телами. Математическую строгость, которой, и не без оснований, так гордятся математики, надо понимать в смысле логической согласованности ее выводов, но не в смысле обоснования математических аксиом. [25]
Правда, опыт с математическими объектами нельзя осуществить в чистом виде, поскольку эти объекты являются идеализа-циями ft не встречаются в природе. Всякий опыт выполняется с реальными телами. Математическую строгость, которой, и не без оснований, так гордятся математики, надо понимать в смысле логической согласованности ее выводов, но не в смысле обоснования математических аксиом. [26]
Грубо говоря, множество С () играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [27]
Грубо говоря, множество С ( з &) играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [28]
Соединенный труд дает такие результаты, к каким никогда не мог бы привести труд индивидуальный. Значит, по мере того как человечество будет численно возрастать, продукты его соединенного труда будут значительно превышать ту сумму, которая получается от простого сложения чисел, соответствующих приросту населения... В настоящее время как в механических искусствах, так и в научных работах один человек может в один день сделать больше, чем изолированный индивид сделал бы за всю свою жизнь. В применении к рассматриваемому нами предмету оказывается неверной математическая аксиома, гласящая, что целое равно своим частям. [29]
Соединенный труд дает такие результаты, к каким никогда не мог бы привести труд индивидуальный. Значит, по мере того как челавечество будет численно возрастать, продукты его соединенного труда будут значительно иревышать ту сумму, которая получается от простого сложения чисел, соответствующих приросту населения... В настоящее время как в механических искусствах, так и в научных работах один человек может в один день сделать больше, [...] чем изолированный [...] индивид сделал бы за всю свою жизнь. В применении к рассматриваемому нами предмету оказывается неверной математическая аксиома, [...] гла-сящая, что цеяое равно своим частям. [30]