Cтраница 3
Я хотел бы пояснить этим, что может означать логическая символика. Я вовсе не требую, чтобы каждое алгебраическое вычисление записывалось с помощью логической и теоретико-множественной символики, ибо даже в тиши кабинетов и в математических работах мы этого не делаем. Но из текста должно быть по меньшей мере ясно, что из чего вытекает и связана ли данная переменная квантором существования или всеобщности либо она свободна. Не следует на каждом шагу называть логические законы или математические аксиомы и леммы, оправдывающие этот шаг, не следует повторять все условия или, скажем, представлять решение уравнения в форме цепочки равенств между множествами, записанными с помощью фигурных скобок. [31]
Мы докажем, что любая непротиворечивая счетная теория имеет семантическую ( счетную) модель. Аналогичная теорема может быть доказана для любой ( даже несчетной) теории. Однако доказательство этой теоремы без ограничений па мощность множества математических аксиом будет проведено другим, более сложным способом. Поэтому случай счетных теорий изучается отдельно. [32]
Мы докажем, что любая непротиворечивая счетная теория имеет семантическую ( счетную) модель. Аналогичная теорема может быть доказана для любой ( даже несчетной) теории. Однако доказательство этой теоремы без ограничений на мощность множества математических аксиом будет проведено другим, более сложным способом. Поэтому случай счетных теорий изучается отдельно. [33]
Изложение квантовой механики начинается с гл. II, где наиболее существенные основные предположения ( аксиомы) квантовой механики поясняются на примере гармонического осциллятора, реализуемого двухатомной молекулой. Дальнейшие основные предположения приводятся в последующих главах по мере развития теории. Эти основные предположения ( постулаты) не следует понимать как математические аксиомы, из которых можно все вывести без дальнейших рассуждений и размышлений. Аксиоматический подход такого рода в физике, по-видимому, невозможен. Основные предположения необходимо рассматривать как сжатую формулировку квинтэссенции многих экспериментальных фактов. [34]
Легко видеть, что 1 - й и 2 - й законы уже даны исходными определениями силы. Согласно этим определениям, в отсутствие силы нет и ускорения и, значит, возможно лишь состояние покоя или прямолинейного равномерного движения. После того как ускорение принято в качестве меры силы, будет совершенно ненужной тавтологией вновь говорить, что изменение движения пропорционально силе. Было бы достаточно сказать, что предпосланные определения не являются произвольными математическими аксиомами, но отвечают данным в опыте свойствам тел. Третий закон, видимо, содержит нечто новое. Но мы уже видели, что его нельзя понять без правильного определения понятия массы, а при определении самого понятия массы на основе только динамического опыта он становится излишним. [35]
Несмотря на бесчисленные произвольные построения и фантастические выдумки, которые здесь выступают перед нами; несмотря на идеалистическую, на голову поставленную форму ее результата - единства мышления и бытия, - нельзя отрицать того, что эта философия доказала на множестве примеров, взятых из самых разнообразных областей, аналогию между процессами мышления и процессами природы и истории - и обратно - и господство одинаковых законов для всех этих процессов. С другой стороны, современное естествознание расширило тезис об опытном происхождении всего содержания мышления в таком смысле, что совершенно опрокинуты были его старая метафизическая ограниченность и формулировка. Современное естествознание признает наследственность приобретенных свойств и этим расширяет субъект опыта, распространяя его с индивида на род: теперь уже не считается необходимым, чтобы каждый отдельный индивид лично испытал все на своем опыте; его индивидуальный опыт может быть до известной степени заменен результатами опыта ряда его предков. Если, например, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собой разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом накопленной наследственности. [36]
Несмотря на бесчисленные произвольные построения и фантастические выдумки, которые здесь выступают перед нами; несмотря на идеалистическую, на голову поставленную форму ее результата - единства мышления и бытия, - нельзя отрицать того, что эта философия доказала на множестве примеров, взятых из самых разнообразных областей, аналогию между процессами мышления и процессами природы и истории - и обратно - и господство одинаковых законов для всех этих процессов. С другой стороны, современное естествознание расширило тезис об опытном происхождении всего содержания мышления в таком смысле, что совершенно опрокинуты были его старая метафизическая ограниченность и формулировка. Современное естествознание признает наследственность приобретенных свойств и этим расширяет субъект опыта, распространяя его с индивида на род: теперь уже не считается необходимым, чтобы каждый отдельный индивид лично испытал все на своем опыте; его индивидуальный опыт может быть до известной степени заменен результатами опыта ряда его предков. Если, например, у пас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собой разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом накопленной наследственности. [37]
Мы принимаем, что сказанное здесь об аксиоме выбора справедливо и по отношению к любой математически значимой аксиоме. По моему убеждению, за -, коны мышления произошли оттого, что связи между внутренним представлением, которое мы составляем о предметах, все более приспосабливались к связи между самими предметами. Все условия связи, ведущие к противоречию с опытом, отбрасывались и, напротив, те, которые всегда вели к правильным результатам, утверждались с такой энергией и они передавались столь последовательно потомкам, что мы наконец усмотрели в этих условиях аксиомы или врожденные непременные методы мышления [ 1, с. По сути дела та же идея выражена в чеканной формулировке Ленина: Практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом [ 1, с. Это в полной мере применимо и к математическим аксиомам. В математике, как и в логике, как и в других науках, все время появляются новые объекты исследования, вводятся новые понятия и их связи друг с другом. Их введение происходит, как правило, при воздействии внематематических ( в первоначальный период) факторов или по крайней мере вне факторов рассматриваемой математической ситуации. Введенные понятия, связи их с прежними, способы рассуждений о них далеко не всегда оказываются жизнеспособными, но часть их оказывается полезной и даже необходимой для разработки тех или иных возникших перед исследователем проблем. Наиболее удачные находки применяются достаточно часто и под воздействием этих тысячекратных повторений постепенно перерастают в нормативные акты математического мышления. Таким актом стал, например, принцип полной математической индукции и, как нам представляется, еще находится в стадии становления принцип трансфинитной индукции. [38]
Весьма большое значение для развития математики могут иметь и открытия, лишенные столь революционного характера. Оно неслыханно упростило вычис ления, связанные с необходимостью умножать, делить, возводить в степень, извлекать корни различных степеней. Вместо всего этого потребовалась гораздо более кропотливая, но одноразовая работа по составлению таблиц логарифмов: Такого рода упрощения приносят гораздо большую пользу прикладным наукам, чем ма-тематическим теориям. Сам математический метод также может служить источником интересных и важных задач. Более точно: всегда ли выполняется альтернатива, состоящая в том, что можно доказать либо утверждение, либо его отрицание. Речь идет не о том, чтобы найти способ, позволяющий доказать или опровергнуть утверждение, а о принципиальной разрешимости математических задач. Этот вопрос тесно связан с аксиоматикой, или наукой о математических аксиомах. Известно, например, что задача о параллельных не решена в обобщенной геометрии, система аксиом которой не содержит аксиомы о параллельных. [39]