Cтраница 1
Поверхностная гармоника Yn содержит 2п произвольных переменных, так как она определяется положением п ее полюсов на сфере, а каждый полюс определяется двумя координатами. Следовательно, пространственные гармоникц Vn и Я также содержат 2п произвольных переменных. При этом обе они после умножения на постоянную удовлетворяют уравнению Лапласа. [1]
Ти являются поверхностными гармониками. [2]
Очевидно, что поверхностная гармоника нулевой степени будет нарушать сохранение массы Земли, в то время как поверхностная гармоника первой степени будет смещать центр масс Земли от начального положения; гармоники высоких степеней быстро уменьшаются и могут не приниматься во внимание на расстояниях, равных расстоянию до Луны. [3]
Определим теперь вид поверхностной гармоники Уп в зависимости от положения точки Р на сфере по отношению к п полюсам гармоники. [4]
Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке Р сферической поверхности через косинусы расстояний Р от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга. [5]
Рп ( cos б) через поверхностные гармоники Sn ( 6, ср), отнесенные к другой оси. [6]
Таким образом, независимо от значений остальных поверхностных гармоник и в предположении, что Луна может считаться однородным телом, эти два коэффициента вторых гармоник должны иметь приведенные выше значения. Впрочем, отклонение от однородности весьма вероятно, если не совершенно определенно, как можно судить по представлению поверхности, полученному для краевой зоны Гудасом [24] на основе исследований Хайна, Ваттса и др. Однако не удается достичь такого представления, при котором эллипсоидальная компонента лунной поверхности была бы ориентирована в направлении оси вращения и в то же время главная ось эллипсоида инерции была бы направлена к Земле. Добавим, что многие исследователи, несмотря на количественное противоречие в определении размеров полуосей предполагаемого лунного эллипсоида или вытянутого сфероида, заключили, что главная ось всегда направлена к Земле. [7]
Указание: геометрия задачи позволяет применить только одну поверхностную гармонику. [8]
Смысл соотношения ( 5) можно выразить, сказав, что любые две поверхностные гармоники, степени которых различны, ортогональны. [9]
Очевидно, что поверхностная гармоника нулевой степени будет нарушать сохранение массы Земли, в то время как поверхностная гармоника первой степени будет смещать центр масс Земли от начального положения; гармоники высоких степеней быстро уменьшаются и могут не приниматься во внимание на расстояниях, равных расстоянию до Луны. [10]
Возвращаясь к вопросу об опорных точках и к связанной с ними системе отсчета, необходимо отметить, что изучение изменения плотности внутри Луны по точным определениям гравитационных и поверхностных гармоник должно приводиться к одной и той же системе отсчета. В выражении потенциала силы тяжести Луны, недавно примененном для изучения лунных спутников, первая гармоника отсутствует, так как начало координат помещено в центр масс. Если Луна лишь слегка отклоняется от однородности, то же самое должно быть верно и для ее поверхности. Анализ данных ACIC показывает, что зональные и секториальные гармоники первого порядка не являются пренебрежимо малыми, в то время как тессеральная гармоника должна быть равна нулю в предположении симметрии. [11]
Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке О радиусом, меньшим а, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на г / а в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция. [12]
Любая однородная функция от х, у, г, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. [13]
Значения этих коэффициентов изменяются с изменением начала системы отсчета, и мы можем определить центр фигуры как точку, которая, будучи принятой за начало системы координат, к которой отнесена поверхность тела, приводит к исключению поверхностных гармоник первого порядка. [14]
Предположим теперь, что с помощью описанной выше процедуры пли с помощью эквивалентного ей графического метода построения карт, содержащих линии равных значений магнитных элементов, мы узнали величины X и Y, а следовательно, и потенциал V для всей поверхности земного шара. Следующий шаг должен состоять в разложении V в ряд по сферическим поверхностным гармоникам. [15]