Cтраница 1
Геделева нумерующая присваивает выражениям ( из некоторого множества) натуральные числа ( называемые геделевыми номерами этих выражений); при этом должны выполняться следующие условия: ( 1) разным выражениям присвоены разные геделевы номера; ( 2) геделев номер любого выражения эффективно вычисляется по выражению; ( 3) эффективно разрешим вопрос о том, является ли число геделевым номером некоторого выражения из рассматриваемого множества выражений, и, если является, эффективно находится выражение, имеющее этот геделев номер. [1]
Геделева нумерующая позволяет рассматривать интерпретируемые языки не только как языки, описывающие натуральные числа ( т.е. имеющие множество натуральных чисел в качестве области их предполагаемой интерпретации), но и как относящиеся к нумерованным выражениям. При этом возникает возможность того, что некоторые предложения, очевидным образом относящиеся к некоторым числам, имея в виду геделеву нумерующую, можно считать относящимися к некоторым выражениям, идентичным самим этим предложениям. Описываемое положение дел не просто возможно: доказательство леммы о диагонализации выявляет, как подобная ситуация возникает, а последующие теоремы показывают, как ее можно использовать. [2]
Геделев и Г. Л. Валахонцев выдвинули оригинальную идею, позволившую кристаллизовать многотонные алюминиевые слитки вообще без форм. В процессе кристаллизации жидкий металл удерживается в подвешенном состоянии электромагнитным полем. [3]
Геделев номер этой формулы - 262 111 123 666; теперь мы подставим этот номер в саму формулу - или, точнее, мы подставим в нее символ этого номера. [4]
Геделев метод и, таким образом, находится в близком родстве с диагональным методом Кантора. Не буду приводить ее здесь; достаточно сказать, что идея Тюринга заключалась в том, чтобы ввести в программу ее собственный Геделев номер. Это, однако, весьма непросто, все равно что ухитриться процитировать какое-то предложение внутри него самого. [5]
Геделев метод получения неразрешимого утверждения сводится к построению геделева утверждения для множества Р - дополнения Р; такое утверждение ( его можно рассматривать как высказывание, утверждающее собственную недоказуемость) должно быть истинным, но недоказуемым в данной системе. Двойственный метод сводится к построению геделева утверждения не для множества Р, а для множества R; такое утверждение ( его можно рассматривать как высказывание, утверждающее собственную опровержимость) должно быть ложным, но неопровержимым. Поскольку оно ложно, оно так же недоказуемо и, следовательно, неразрешимо в данной системе. Следует отметить, что те системы, которые рассматриваются в оригинальной работе Геделя, удовлетворяют всем четырем условиям - Glt GI, G3 и Gj, так что для построения неразрешимых утверждений можно использовать как тот, так и другой метод. [6]
Открыв Геделеву нумерацию и построенный на ее основе изоморфизм, мы в каком-то смысле расшифровали код, на котором высказывания о системе MIU записаны при помощи строчек ТТЧ. Геделев изоморфизм - это новый обнаружитель информации, в том же смысле, как дешифровки старинных текстов были обнаружителями заложенной в этих текстах информации. [7]
Если дан геделев номер Gd ( u) ( git... [8]
Доопределим теперь геделеву нумерующую так, чтобы всем конечным последовательностям символов табл. 15 - 1 были приписаны геделевы номера. Мы не делаем различия между отдельным символом и последовательностью, состоящей из одного этого символа. [9]
Пусть k - геделев номер предложения G. [10]
Пусть q - геделев номер формулы С. [11]
Он ловится на Геделев крючок, из чего следует, что. [12]
Формула, чей Геделев номер - а, выражает истину. [13]
Очевидно, что наша геделева нумерующая действительно является геделевой нумерующей в смысле второго абзаца. [14]
Рассмотрим некоторое конкретное множество выражений и конкретную геделеву нумерующую. Слова выражение и геделев номер будут относиться в дальнейшем именно к ним. В этой конкретной геделевой нумерующей нет ничего специфического; теоремы и доказательства, приводимые нами и базирующиеся на этой нумерующей, остаются верными и относительно любой другой геделевой нумерующей. [15]