Cтраница 4
Этот тип различения между уровнями дает нам новые аргументы в споре с Лукасом. Он основывает свои рассуждения на идее, что Геделева Теорема по определению приложима к машинам. [46]
Геделя запрещает воспроизводство нашего уровня разума с помощью программ не более, чем она запрещает воспроизводство нашего уровня разума с помощью передачи наследственной информации в ДНК. В главе XVI мы видели, как именно замечательный Геделев механизм - Странная Петля белков и ДНК - делает возможной передачу разума. [47]
Если теория разрешима, то существует эффективный метод, позволяющий распознавать, является ли данное предложение теоремой этой теории. Чтобы определить, является ли предложение теоремой, сначала вычисляют геделев номер этого предложения, а затем - значение ( рекурсивной и, следовательно, вычислимой) характеристической функции на этом геделевом номере как на аргументе. [48]
Логика второго порядка является тогда, как вытекает из следствий 18.2 и 18.3 и упр. Более того, предположим, что предложениям второго порядка некоторым разумным образом приписаны геделевы номера. Тогда множество геделевых номеров общезначимых предложений второго порядка не является ( даже) определимым в арифметике. В самом деле, предположим, что V ( y) определяет это множество. [49]
Для любого заданного утверждения X и любого множества положительных целых чисел А мы будем называть X геделевым утверждением для А, если либо X истинно и его геделев номер принадлежит А, либо X ложно и его геделев номер не принадлежит А. Подобное утверждение можно представлять себе как высказывание о том, что его собственный геделев номер принадлежит А: если это утверждение истинно, то его геделев номер действительно принадлежит А; если же оно ложно, то его геделев номер не принадлежит А. Далее, мы будем называть систему геделевой в том случае, если для каждого множества А, допускающего наименование в этой системе, существует хотя бы одно геделево утверждение для А. [50]