Cтраница 3
Xm i - ), - предикаты, арифметические по Геделю. [31]
Робинсон [1949 ] показала, что при определении предикатов, арифметических по Геделю, вместо двух функций и можно пользоваться предикатом ( Ф16) и функцией; а Черч и Куайн [1952] показали, что вместо этого можно пользоваться надлежаще выбранным симметричным двуместным предикатом. [32]
Алгоритмический язык, который мы сейчас введем, принадлежит в основном Геделю, еще одному пионеру изучения разрешимости. [33]
Итак, как я уже говорил, ГЭБ - не о мистере Геделе, мистере Эшере и мистере Бахе и не о близости между математикой, музыкой и искусством - и все же, в каком-то смысле, ГЭБ, безусловно, и обо всем этом. Иначе зачем бы я назвал книгу именно так. Должен признаться, что в моем маленьком диалоге с читателем я был слишком категоричен, напрочь отрицая наиболее очевидные интерпретации содержания книги. [34]
СЛЕДСТВИЕ, ( а) Каждый предикат Р, обще-рекурсивный относительно арифметических по Геделю предикатов Т, является арифметическим по Геделю. Аналогично, если Р обще - рекурсивен относительно W, в и предикаты из W - арифметические по Геделю, то Р является арифметическим по Геделю относительно в. Предикат М ( а, К) теоремы VIII не является обще-рекурсивным относительно каких бы то ни было арифметических по Геделю предикатов. [35]
Несмотря на то что попытка осуществления программы Гильберта в целом оказалась несостоятельной ( см. Геделя теорема о неполноте), проведенные в рамках этой программы исследования имели большое значение для развития многих разделов математич. [36]
Буля, Фреге, Пеано, Порецкого, Шредера, Пирса, Рассела, Геделя, Гильберта, Тарского и др. Так, напр. [37]
Геделю относительно W; ввиду того, что предикаты из F - арифметические по Геделю, R, а следовательно, и Р являются арифметическими по Геделю. [38]
Теория вычислимости - начало теории вычислений - была развита из работ Тьюринга, Клини, Геделя и Черча. Девис [69] и Минский [200] предлагают хорошие введения в нее. [39]
Эту систему, рассматриваемую вместе с ее конечной аксиоматизацией, называют иногда теорией множеств Бернайса - Геделя. Каждая из четырех названных выше аксиоматических теорий множеств, подобно теории чисел, обладает следующим свойством: если данная теория непротиворечива, то она неполна и никакое ее конечное расширение также не является полным. Этот факт следует из теоремы Геделя о неполноте. [40]
Уильям Ньютон-Смит указал мне на то, что мое толкование чисел Геделя отличается от толкования самого Геделя. Очевидно, Гедель рассматривал некую чистую генеральную совокупность, в которой его числа существовали до того, как он их открыл, в то время как я полагаю, что он изобрел эти числа, таким образом увеличив генеральную совокупность, которой он оперировал. Я полагаю, что мое толкование имеет больше смысла. Это, конечно, делает теорему Геделя более подходящей к затруднительному положению думающего участника. [41]
Если Т есть - непротиворечивое аксиоматизируемое расширение теории Q, то более простая конструкция, принадлежащая Геделю, доказывает существование неразрешимого в Т предложения. [42]
Из этой теоремы вытекает, в частности, что все примитивно рекурсивные предикаты относятся к числу арифметических по Геделю предикатов. [43]
СЛЕДСТВИЕ, ( а) Каждый предикат Р, обще-рекурсивный относительно арифметических по Геделю предикатов Т, является арифметическим по Геделю. Аналогично, если Р обще - рекурсивен относительно W, в и предикаты из W - арифметические по Геделю, то Р является арифметическим по Геделю относительно в. Предикат М ( а, К) теоремы VIII не является обще-рекурсивным относительно каких бы то ни было арифметических по Геделю предикатов. [44]
В статье Вычислимость примитивно рекурсивных термов конечного типа и примитивно рекурсивная реализация дается одно из первых в литературе доказательств сильной нормализуемости примитивно рекурсивных по Геделю А-термов конечных типов. [45]