Cтраница 4
Геделю относительно W; ввиду того, что предикаты из F - арифметические по Геделю, R, а следовательно, и Р являются арифметическими по Геделю. [46]
Так как предикат Г2 ( и, 6, х, у) примитивно-рекурсивен, то, по следствию из теоремы I § 49, он является арифметическим по Геделю ( § 48), а значит можно ( заменяя, и их представляющими предикатами) найти предикатную формулу Т2 ( а, Ь, х, у) из, Р0, Р1 ( Р2, которая выражает этот предикат при рассматриваемом распределении значений. [47]
Наше ( первое) доказательство теоремы 44 можно изменить так, что будет обеспечена и дополнительная общность, Предположим, что класс формул в теореме 44 является только арифметическим по Геделю ъ том смысле, что при некоторой геделевской нумерации, полученной методами § § 52 и 56, предикат jc есть геделевский номер формулы этого класса, который обозначим через С (), является арифметическим по Геделю. Тогда, по теореме VII ( d) § 57, С ( х) выразим в одной из форм теоремы V, например, в некоторой - кванторной форме. Тогда, каким бы образом ни был выбран этот конечный перечень, В ( х) выразим в той же самой g - кванторной форме. [48]
Мы знаем, что предикат rm ( c, d) w, где rm ( c, d) - остаток при делении с на d, является арифметическим по Геделю. [49]
Пониманием того, что свойства целых чисел суть свойства Дискретного вообще и, стало быть, свойства мира математических рассуждений, в частности, мы обязаны математике двадцатого века, в первую очередь Геделю. [50]
Наше ( первое) доказательство теоремы 44 можно изменить так, что будет обеспечена и дополнительная общность, Предположим, что класс формул в теореме 44 является только арифметическим по Геделю ъ том смысле, что при некоторой геделевской нумерации, полученной методами § § 52 и 56, предикат jc есть геделевский номер формулы этого класса, который обозначим через С (), является арифметическим по Геделю. Тогда, по теореме VII ( d) § 57, С ( х) выразим в одной из форм теоремы V, например, в некоторой - кванторной форме. Тогда, каким бы образом ни был выбран этот конечный перечень, В ( х) выразим в той же самой g - кванторной форме. [51]