Cтраница 2
Предположим, что А - сепарабельная R-ал-гебра. Тогда любой правый А-модуль Р, проективный как R-MO дуль, проективен и как А-модуль. [16]
Пусть А - - артинова справа алгебра. Тогда любой проективный правый А-модуль изоморфен прямой сумме главных неразложимых правых А-моду лей. Такое разложение однозначно с точностью до изоморфизма и изменения порядка слагаемых. [17]
Пусть А - артинова справа алгебра. Тогда любой неразложимый проективный правый А-модуль изоморфен главному неразложимому правому А-модулю. [18]
Пусть А - артинова справа примарная алгебра. Тогда все главные неразложимые правые А-модули изоморфны друг другу. Кроме того А з Мп ( В) для некоторого однозначно определенного натурального числа п и некоторой артиновой справа локальной алгебры В, которая единственна с точностью до изоморфизма. [19]
Тогда если М - правый А-модуль, N - некоторый А-В - бимодуль и Р - левый В-модуль, то М А ( N в Р) ( М А N) в Р как R-модули. [20]
Пусть А - артинова справа алгебра. Тогда любой неразложимый проективный правый А-модуль изоморфен главному неразложимому правому А-модулю. [21]
Еще одна хар актер изация квазифробениусовых колец вытекает из двойственности, рассмотренной Джансом [ ЗЭ ] для модулей над кольцами, нетеррвыми слева и справа. Эту группу, очевидно, можно считать правым А-модулем. Кольцо А оказывается квазифробениусовым тогда и только тогда, когда М М для всех левых А-модулей. [22]
Пусть А, В и С - некоторые R-алгебры, причем А является подалгеброй в В, а В - подалгеброй в С. Предположим также, что М и N - правые А-модули. [23]
Пусть А - артинова справа алгебра, а В - ее базисная алгебра. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма правых А-модулей и классами изоморфизма правых В-модулей, при котором неразложимым модулям отвечают неразложимые модули, а конечна порожденным А-модулям - конечно порожденные В-модули. [24]
Правое и левое регулярные представления R-алгебры А являются биекциями. В частности, А ЕА ( А) как R-алгебры, где А рассматривается как правый А-модуль. [25]
Пусть А - артинова справа алгебра. Тогда отображение Р - Р / Р ( А) определяет биективное соответствие между классами изоморфизма главных неразложимых правых А-модулей и классами изоморфизма простых правых Л / Л ( Л) - модулей. [26]
Теорема 4.1. Пусть А - неразложимая обобщенно однорядная алгебра. А квазифробениусова тогда и только тогда, когда S ( А) - цикл, а длины всех главных правых А-модулей равны. [27]
Ассоциативное кольцо Л называется А-кольцом, если оно является двусторонним унитарным А-модулем и ( ху) ( ьх) у, ( л: л) у х ( у), ( xy) x ( yty для любых элементов х, у. Назовем А-кольцо А свободным произведением своих А-подколец Ал ( а. А при а f ( 3; 2) кольцо А порождается объединением всех подколец Л; 3) система определяющих соотношений кольца А совпадает с объединением систем определяющих соотношений всех подколец Аи. Он же установил некоторые достаточные и некоторые необходимые условия существования для данного семейства А-колец их свободного произведения. Достаточным является, например, условие, что все левые и правые А-модули А / Л плоские. В другой работе Кон [43] изучает строение свободного произведения Р двух тел / G и К. [28]