Cтраница 1
Геометрия положения представляет собой пример математической науки, созданной без помощи дифференциального и интегрального исчислений. Фарадеевы линии сил занимают в науке об электромагнетизме такое же положение, как пучки линий в геометрии положения. Они позволяют нам воспроизвести точный образ предмета, о котором мы рассуждаем. [1]
Карно Геометрия положения для тех, кто готовится к измерению земель, изданной в 1803 г. и предвосхитившей некоторые основные идеи проективной геометрии и топологии. [2]
Но в геометрии положения можно не беспокоиться о форме граней и ребер; следовательно, нам нет нужды предпола; гать, что грани плоски, а ребра прямолинейны. Отсюда вытекает, что фигура, образованная полостью Slt разбитой на односвязные области, есть настоящий криволинейный многогранник, к которому приложима теорема Эйлера. [3]
Здесь мы пришли к представлениям, относящимся к Геометрии Положения, топологии, предмет которой изучен еще мало, хотя важность его была отмечена Лейбницем и наглядно пояснена Гауссом. Наиболее полное его рассмотрение дано Дж. [4]
Однако все то, что будет сказано о торе, относится также к любой поверхности рода, 1, иЗо, с точки зрения геометрии положения, она не отличается от тора. [5]
Лежащая в основе этих примеров мысль Штейнера, именно, полу чение высших геометрических образов из низших посредством проективного соответствия, положена в основу и систематически проведена в книге Рейе Геометрия положения ( 3 изд. Annalen равно как и статьи Рейе в томах 74 и последующих Журнала Крелля. [6]
Понселе, а также Штейнер - не достигли в этом отношении еще ясности; для Штейнера мнимые величины в геометрии все еще являются привидениями, которые, находясь как бы в высшем мире, обнаруживают себя своими действиями, но о сущности которых мы не можем получить ясного представления. Впервые Штаудт в своих уже названных раньше сочинениях Геометрия положения) ( Нюрнберг, 1846) и Добавления к геометрии ( Нюрнберг, 1856 - 1860); полностью разрешил этот вопрос, и его идеями нам следует еще немного заняться. Впрочем, эти книги Штаудта читаются очень трудно, ибо он развивает свои теории дедуктивным путем сразу в их окончательной форме, не ссылаясь на аналитические формулы и не делая индуктивных указаний. [7]
Тот факт, что в основе геометрии, изучающей одни лишь проективные свойства фигур, лежит понятие, связанное с измерением отрезков или углов, естественно, поставил перед математиками задачу обоснования проективной геометрии посредством собственных, проективных средств. Эта задача и была решена Штаудтом в появившемся в 1847 г. труде Геометрия положения, название которого восходит к Лейбницу и Карно. С проходила бы одна сторона, инцидентная третьей диагональной точке ( Я), то противоположная ей сторона ( / Я) пересекает данную прямую ( АВ) в точке D, которая называется четвертой гармонической, сопряженной с точкой С относительно пары точек А, В. [8]
Все, что сохраняется при этих преобразованиях, составляет предмет возникшей в последнее столетие проективной геометрии), о которой я уже говорил раньше и которую мы в дальнейшем должны будем изучить еще более глубоко. Это название, ставшее теперь общеупотребительным, лучше часто применявшегося раньше названия геометрия положения, которым хотели подчеркнуть ее противопоставление геометрии меры или элементарной геометрии, охватывающей все, также и проективно не инвариантные, геометрические свойства. Ибо старое название совершенно скрывает то, что многие метрические свойства, в частности значение двойного отношения, тоже принадлежат к этой дисциплине. [9]
Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. Поэтому мне пришла в голову мысль, не относится ли она случайно к геометрии положения, которую в свое время исследовал Лейбниц. Итак, после долгих размышлений, я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое УГОДНО число и как угодно расположенных мостов или не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на следующем рисунке, на котором Л обозначает остров, а Б, С, и I) - части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. [10]
Геометрия положения представляет собой пример математической науки, созданной без помощи дифференциального и интегрального исчислений. Фарадеевы линии сил занимают в науке об электромагнетизме такое же положение, как пучки линий в геометрии положения. Они позволяют нам воспроизвести точный образ предмета, о котором мы рассуждаем. [11]
Топология возникла совсем недавно. Если отдельные мысли и положения, которые мы сейчас отнесли бы к топологии, можно проследить еще в античной геометрии, среди идей Леонардо да Винчи, у Декарта и конечно у Эйлера, то формироваться и приобретать собственные очертания геометрия положения начала еще позже, чем учение о механизмах и машинах. [12]
Все-таки Штейнеру необходима была метрика, чтобы определить сложное отношение четырех точек пли прямых. Этот недостаток теории был устранен Христианом фон Штаудтом, в течение многих лет состоявшим профессором университета в Эрлангене. Штаудт в своей Геометрии положения определяет вурф четырех точек на прямой линии чисто проективным путем, а затем показывает, что вурф совпадает со сложным отношением. [13]
Построение невозможно, если будет более чем две области, к которым поведет нечетное число мостов. Следовательно, Ты можешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением и, нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Между тем Ты, славнейший муж, определяешь место этого вопроса в геометрии положения, и что касается этой новой науки, то, признаюсь, мне Неизвестно, какого рода относящиеся сюда задачи желательны были Лейбницу и Вольфу. [14]
Геометром, который в этом направлении внес ясность в существенном, является Штаудт ( 1798 - 1867) из Ротенбурга, все время своей научной деятельности ( с 1835 до 1867) проживший в Эрлангене. Staudt, Geometrie der Lage, 1847), за которой последовали Исследования по геометрии положения ( Beitrege zur Geometrie der Lage, 1856 - 60), Эти книги чрезвычайно содержательны, так как Штаудт является одним из наиболее глубоко вникавших геометров, когда-либо живших. Его работы по причине их сжатости и несколько тяжелого стиля, к сожалению, до сих пор мало известны. [15]