Cтраница 1
Комбинаторная геометрия и классы выпуклости - Успехи мат. [1]
Комбинаторной геометрией ( далее всюду - геометрией) называется предгеометрия, у которой все одноэлементные подмножества, а также пустое множество являются замкнутыми. [2]
Задачи комбинаторной геометрии отличаются очень большим разнообразием; при этом формулировки их, как правило, опираются лишь на самые простые геометрические понятия и факты и доступны любому школьнику. Решения же задач комбинаторной геометрии зачастую оказываются весьма сложными; целый ряд основных для этого раздела задач не решен и по сей день. [3]
Построить комбинаторную геометрию, в которой подмножество А Е 5 будет замкнутым в том и только в том случае, когда оно содержит все кривые и все поверхности, проходящие через его точки. [4]
Существует ли комбинаторная геометрия, в которой нет циклов. [5]
Типичные для комбинаторной геометрии задачи связаны с оценкой числа фигур, входящих в удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию. Большинство задач комбинаторной геометрии ставится для выпуклых тел, в связи с чем при решении многих из них используются свойства многогранников. Последнее стимулировало исследование комбинаторных и метрических свойств многогранников и зависимостей между ними. Это привело в начале 50 - х годов к возникновению и выдвижению на первое место нового раздела теории выпуклых многогранников - комбинаторной теории многогранников. [6]
ХАДВИГЕРА ГИПОТЕЗА - задача комбинаторной геометрии о покрытии выпуклого тела фигурами специального вида, выдвинутая X. [7]
При этом типичные для комбинаторной геометрии задачи связаны с оценкой тех или иных целых чисел - обычно числа точек или фигур, которые могут входить в удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию. Именно таким характером рассматриваемых здесь задач и объясняется прилагательное комбинаторная - ведь комбинаторикой называется раздел алгебры, в котором подсчитывается число тех или иных комбинаций конечного числа элементов, удовлетворяющих заданным в формулировке задачи условиям. [8]
Нам кажется, что и комбинаторная геометрия, которая смело может претендовать на положение элементарной геометрии наших дней, в состоянии заложить фундамент для самостоятельного научного творчества многих любителей математики, начиная с учащихся средней школы - и при составлении настоящей книги мы хотели дать начинающим математикам материал для их исследовательской работы. [9]
Книги JI3J - JI5J посвящены так называемой комбинаторной геометрии - разделу, родственному дискретной геометрии и находящемуся на стыке элементарной геометрии и теории выпуклых тел. Эти три книги практически не пересекаются по своему содержанию: в них излагаются разные разделы комбинаторной геометрии. [10]
Данный параграф посвящен системам множеств специального вида - комбинаторным геометриям. Комбинаторные геометрии, будучи множествами упорядоченными, имеют и чисто геометрическую природу - они могут быть получены как инцидентностная моделизация аксиом классической геометрии. Допустимость алгебраических формализации обеспечивает удобство оперирования с этими объектами, а многоплановость самого понятия - их высокую применимость. [11]
Эта глава посвящена рассмотрению четырех тесно связанных между сабой задач комбинаторной геометрии. Стержнем главы является известная гипотеза Хадвигера [1] о том, что ограниченное выпуклое тело / ( может быть покрыто не более чем 2П телами, гомотетичными телу К с положительным коэффициентом гомотетии, меньшим единицы. В работе [2] введена еще одна задача комбинаторной геометрии - задача освещения. С, равно наименьшему числу освещающих пучков. В работах [3, 4] рассматриваются еще две задачи, близкие указанным. Оказалось [5], что для неограниченных выпуклых тел все четыре задачи р а з л и ч-н ы, хотя и тесно связаны. Кроме того, имеются отдельные результаты более частного характера. [12]
Книги [21] и [22] посвящены сравнительно узкой проблематике, бесспорно Относящейся к комбинаторной геометрии, хотя, быть может, и не центральной для нее. [13]
Если точки выбирать не обязательно в узлах решетки, то мы получаем знаменитую нерешенную задачу комбинаторной геометрии: каково наименьшее число различных расстояний, определяемых п точками на евклидовой плоскости. [14]
Рассчитанные на сравнительно широкого читателя книги ж брошюры [15] - [20] содержат обзоры отдельных разделов комбинаторной геометрии, доста точно характерных для этого научного направления. [15]