Cтраница 2
Несколько иной характер имеют циклы 1 и 4 - они порождены тем разделом геометрии, из которого выделилась комбинаторная геометрия, а именно теорией выпуклых фигур ( см. определения на стр. В геометрии созданная в XIX веке теория выпуклых фигур занимает сегодня очень большое место. [16]
Рассмотрение класса всех cf - выпуклых ( или класса Я-выпуклых) множеств позволяет получить новые результаты в задачах комбинаторной геометрии. [17]
Хеша [89] и др. Исследования этих авторов связаны с новым развивающимся направлением в математике, которое носит название дискретной или комбинаторной геометрии. Основной целью указанных работ является получение различного рода оценок для коэффициентов плотности заполнения или покрытий, но в них не рассматривается размещение фигур, соответствующее этим оценкам. Им установлен необходимый признак наиплотнейшего расположения одной и двух фигурных заготовок в прямоугольном листе и повторяющихся заготовок произвольной конфигурации в полосе. Выполнение необходимого признака проверяется графическим способом. [18]
Другое направление геометрических исследований, родственное дискретной геометрии и первоначально находившееся в тесной связи с последней, представляет собой так называемая комбинаторная геометрия. [19]
Лишь в 60 - х годах нашего столетия, в связи с подъемом интереса к тем вопросам, которые ныне объединяются названием комбинаторная геометрия, математики вновь обратились ( см. работы [ 126J, в которых, впрочем, указана и более ранняя литература) к исходной задаче Мальфаттй ( а также к так называемой обратной задаче Мальфаттй, требующей указать такой наименьший по площади треугольник, что в него можно поместить три неперекрывающиеся круга заданных размеров - см. [127]); при этом оказалось, что соответствующие задачи являются довольно трудными, так что для выполнения связанных с ними расчетов пришлось даже прибегать к ЭВМ, Разумеется, для тех или иных конкретно заданных треугольников соответствующая задача решается легко: так, например, штотнейшее заполнение правильного треугольника тремя кругами изображено на рис. 57, б; еще проще видеть, что для достаточно вытянутого в высоту равнобедренного треугольника решение дается рис. 57, в. [20]
Используя в качестве основного средства обращение Мебиуса, Крапо и Рота [3] показали, что проблема четырех красок и изучение хроматических многочленов являются частными случаями более общей задачи, а именно критической проблемы для комбинаторных геометрий. [21]
Причиной этого является то, что вопрос о наименьшем числе многогранников, меньших произвольно заданного многогранника G, подобных G и подобно G расположенных, которыми можно полностью покрыть многогранник G, до сих пор не получил решения - и это несмотря на то, что вопрос этот, тесно связанный с рядом интересных и давно стоящих геометрических проблем ( см. по этому поводу книгу: Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. [22]
В интегральной геометрии исследуются меры на совокупностях геометрич. Комбинаторная геометрия изучает расположения геометрич. [23]
Данный параграф посвящен системам множеств специального вида - комбинаторным геометриям. Комбинаторные геометрии, будучи множествами упорядоченными, имеют и чисто геометрическую природу - они могут быть получены как инцидентностная моделизация аксиом классической геометрии. Допустимость алгебраических формализации обеспечивает удобство оперирования с этими объектами, а многоплановость самого понятия - их высокую применимость. [24]
Эта условность членения материала книги между отдельными циклами задач частично задевает даже книги [4] и [13], предшествующие настоящей, в которых также затронуты некоторые темы, которые были бы вполне уместны и в настоящей книге, - обстоятельство, о котором стоит, быть может, предупредить преподавателя, собирающегося использовать эту книгу в работе математического кружка. Непосредственно комбинаторной геометрии ( о ней говорится в Предисловии к книге) посвящены лишь два последних цикла задач, на которые хочется особо обратить внимание читателей. Однако и многие другие задачи - в первую очередь это относится, пожалуй, к циклам 2 и 3 - также навеяны комбинаторной геометрией. [25]
Типичные для комбинаторной геометрии задачи связаны с оценкой числа фигур, входящих в удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию. Большинство задач комбинаторной геометрии ставится для выпуклых тел, в связи с чем при решении многих из них используются свойства многогранников. Последнее стимулировало исследование комбинаторных и метрических свойств многогранников и зависимостей между ними. Это привело в начале 50 - х годов к возникновению и выдвижению на первое место нового раздела теории выпуклых многогранников - комбинаторной теории многогранников. [26]
Задачи комбинаторной геометрии отличаются очень большим разнообразием; при этом формулировки их, как правило, опираются лишь на самые простые геометрические понятия и факты и доступны любому школьнику. Решения же задач комбинаторной геометрии зачастую оказываются весьма сложными; целый ряд основных для этого раздела задач не решен и по сей день. [27]
Она отличается от существующих книг по комбинаторной геометрии большим числом новых постановок зааач и полученных результатов. Использование различных пожиманий выпуклости позволяет по-пному осмыслить классическое теоремы комбинаторной геометрии, дает ряд новых результатов и формулировок проблем. [28]
ЛТ, а также явно найти таблицы характеров представления тора в слоях Q и, тем самым, вычислить числители в формуле Ботта. При вычислении знаменателей в формуле Ботта возникает довольно изощренная комбинаторная геометрия: приходится суммировать по Минковскому невыпуклые фигуры, склеенные из диаграмм Юнга. [29]
Комбинаторные свойства ап и и, фигурирующие в рассмотренных выше задачах, разумеется, не являются единственно возможными. Напротив, свойства, встречающиеся в задачах комбинаторной геометрии, весьма разнообразны. [30]